Feladat: 3740. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Pásztor Attila 
Füzet: 2005/március, 183 - 184. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elektromos mező, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/október: 3740. fizika feladat

Egyenletes térfogati töltéssűrűségű, gömb alakú test elektrosztatikus potenciáljának értéke a gömb felületén hányad része a gömb középpontjában fellépő potenciálnak? (A potenciált a végtelenben választjuk nullának.)

Megoldás. Legyen a gömb sugara R, töltéssűrűsége (egységnyi térfogatra jutó töltése) pedig ϱ. Tekintsünk egy, a gömb belsejében levő, a középponttól r távolságban elhelyezkedő pontot (0r<R). Tudjuk, hogy gömbszimmetrikus töltéseloszlás esetén az elektromos térerősség sugár irányú, és a nagysága (Er) csak a középponttól mért távolságtól függ. Felírhatjuk Gauss törvényét egy r sugarú gömbre:
Er4πr2=1ε04r3π3ϱ,ahonnanEr=ϱ3ε0r.
Ha rR, akkor a térerősség a Coulomb-törvénynek megfelelően
Er=14πε04R3π3ϱ1r2=R3ϱ3ε01r2.

Ha a potenciált a végtelenben nullának választjuk, akkor a gömb felületén (a töltött gömb Coulomb-potenciáljának ismert képlete szerint)
UR=R3ϱ3ε01R.
A gömb középpontjában a potenciál a felületén érvényes ER potenciálból és a felülettől a középpontig mozgatott egységnyi töltésen végzett munkából tevődik össze. (Ez utóbbi, mivel az elektromos térerősség lineárisan változik, az átlagos térerősségből számítható.) Így
U0=UR+12ERR=R3ϱ3ε01R+R3ϱ6ε01R2R=32UR.

A keresett arány tehát
URU0=23.