Kezdőlap


Feladat:	3736. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hagymási Imre , Werner Miklós
Füzet:	2005/március, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/október: 3736. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $a)$ Elengedés után az abroncs $h - R$ úton szabadon esik és állandó $ω_{0}$ szögsebességgel forog. Közvetlenül az ütközés előtt az abroncs tömegközéppontjának sebessége $v_{0} = \sqrt[]{2 g (h - R)}$ , a teljes mozgási energiája tehát

\begin{matrix} E_{0} = m g (h - R) + \frac{1}{2} m R^{2} ω_{0}^{2} . \end{matrix}

Az ütközés után a mozgási energia

\begin{matrix} E_{1} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m R^{2} ω_{1}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{E_{0} - E_{1}}{E_{0}} = \frac{2 g (h - R) + R^{2} ω_{0}^{2} - v^{2} - R^{2} ω_{1}^{2}}{2 g (h - R) + R^{2} ω_{0}^{2}} = 0, 723, \end{matrix}

vagyis a mozgási energiának kb.

72 %

-át veszítette el az abroncs az ütközésnél.

b)

A vízszintes felülettel történő ütközés rövid

Δ t

ideje alatt az abroncs perdülete megváltozik (lecsökken). Ezt a változást az abroncs és a felület között fellépő

S

erő (tömegközéppontra vonatkoztatott) forgatónyomatéka okozza:

\begin{matrix} S R Δ t = m R^{2} (ω_{0} - ω_{1}) . \end{matrix}

Másrészt ugyanezen

S

erő egy vízszintes erőlökést eredményez, amely megváltoztatja az abroncs vízszintes irányú lendületét (1. ábra):

\begin{matrix} S Δ t = m v_{x} = m v cos α . \end{matrix}

A fenti két egyenlet összevetéséből az elpattanás szögére

\begin{matrix} cos α = \frac{R (ω_{0} - ω_{1})}{v} = 0, 2, azaz α = 78, 5^{\circ} \end{matrix}

adódik.

1. ábra

II. megoldás. A feladat második részét a perdületmegmaradás tételének alkalmazásával is megoldhatjuk. Alkalmazzuk a tételt az ütközés előtti és az ütközés utáni pillanatokra, méghozzá úgy, hogy vonatkoztatási pontnak az abroncs és a felület érintkezési pontját, a 2. ábrán látható

O

pontot választjuk. Erre a pontra a feladatban szereplő erőknek nincs forgatónyomatéka, az

O

-ra vonatkoztatott perdület tehát nem változhat meg.

2. ábra

Az abroncs ütközés előtti perdületénél csak a tömegközéppont körüli forgásból származó

m R^{2} ω_{0}

mennyiséget (sajátperdületet) kell figyelembe vennünk, hiszen a tömegközéppont sebessége áthalad az

O

ponton (arra nézve nincs ,,karja''), emiatt a pályaperdület nulla. Az ütközés után a a sajátperdület lecsökken

m R^{2} ω_{1}

értékre, viszont megjelenik egy nullától különböző pályaperdület; értéke

m v R cos α

.
A perdületmegmaradás tétele szerint

\begin{matrix} m R^{2} ω_{0} = m R^{2} ω_{1} + m v R cos α, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} cos α = \frac{R (ω_{0} - ω_{1})}{v} . \end{matrix}