Feladat: 3736. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Hagymási Imre ,  Werner Miklós 
Füzet: 2005/március, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/október: 3736. fizika feladat

Vízszintes felület felett h=0,95m magasságban lévő R=0,2m sugarú abroncsot ω0=5s-1 szögsebességgel megforgatunk, és kezdősebesség nélkül elengedünk. Az abroncs a vízszintes felülettel való ütközés után a felületet v=2m/s sebességgel hagyja el, és ω1=3s-1 szögsebességgel forog.
 
 

a) Mozgási energiájának hány százalékát veszítette el az abroncs az ütközés során?
b) Milyen szögben hagyja el az abroncs a vízszintes felületet?

I. megoldás. a) Elengedés után az abroncs h-R úton szabadon esik és állandó ω0 szögsebességgel forog. Közvetlenül az ütközés előtt az abroncs tömegközéppontjának sebessége v0=2g(h-R), a teljes mozgási energiája tehát
E0=mg(h-R)+12mR2ω02.
Az ütközés után a mozgási energia
E1=12mv2+12mR2ω12,
ahonnan
E0-E1E0=2g(h-R)+R2ω02-v2-R2ω122g(h-R)+R2ω02=0,723,
vagyis a mozgási energiának kb. 72%-át veszítette el az abroncs az ütközésnél.
b) A vízszintes felülettel történő ütközés rövid Δt ideje alatt az abroncs perdülete megváltozik (lecsökken). Ezt a változást az abroncs és a felület között fellépő S erő (tömegközéppontra vonatkoztatott) forgatónyomatéka okozza:
SRΔt=mR2(ω0-ω1).
Másrészt ugyanezen S erő egy vízszintes erőlökést eredményez, amely megváltoztatja az abroncs vízszintes irányú lendületét (1. ábra):
SΔt=mvx=mvcosα.
A fenti két egyenlet összevetéséből az elpattanás szögére
cosα=R(ω0-ω1)v=0,2,azazα=78,5
adódik.
 

 
1. ábra
 

 
II. megoldás. A feladat második részét a perdületmegmaradás tételének alkalmazásával is megoldhatjuk. Alkalmazzuk a tételt az ütközés előtti és az ütközés utáni pillanatokra, méghozzá úgy, hogy vonatkoztatási pontnak az abroncs és a felület érintkezési pontját, a 2. ábrán látható O pontot választjuk. Erre a pontra a feladatban szereplő erőknek nincs forgatónyomatéka, az O-ra vonatkoztatott perdület tehát nem változhat meg.
 

 
2. ábra
 

Az abroncs ütközés előtti perdületénél csak a tömegközéppont körüli forgásból származó mR2ω0 mennyiséget (sajátperdületet) kell figyelembe vennünk, hiszen a tömegközéppont sebessége áthalad az O ponton (arra nézve nincs ,,karja''), emiatt a pályaperdület nulla. Az ütközés után a a sajátperdület lecsökken mR2ω1 értékre, viszont megjelenik egy nullától különböző pályaperdület; értéke mvRcosα.
A perdületmegmaradás tétele szerint
mR2ω0=mR2ω1+mvRcosα,
ahonnan
cosα=R(ω0-ω1)v.