Kezdőlap


Feladat:	3721. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kómár Péter
Füzet:	2005/február, 110 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elemi részecskék, Relativisztikus dinamika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/május: 3721. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Az $m_{0}$ nyugalmi tömegű, $v$ sebességű részecske (teljes) energiája és impulzusa

\begin{matrix} E = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, p = \frac{m_{0} v}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} . \end{matrix}

Ugyanezek a mennyiségek egy

f

frekvenciájú fotonra:

\begin{matrix} E_{f} = h f, p_{f} = \frac{h f}{c}, \end{matrix}

ahol

h

a Planck-állandó és

c

a fénysebesség.
Tételezzük fel, hogy a mozgó instabil részecske egy

f_{1}

és egy

f_{2}

frekvenciájú fotonra bomlik, s ezek ‐ az ábrán látható módon ‐ a bomló részecske kezdeti haladási irányával

α

, illetve

β

szöget bezáró irányokban haladnak tovább.

Az energia és az impulzusvektor-komponensek megmaradási törvénye szerint

\begin{matrix} \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = h f_{1} + h f_{2}, \\ 0 = \frac{h f_{1}}{c} sin α - \frac{h f_{2}}{c} sin β, \\ \frac{m_{0} v}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{h f_{1}}{c} cos α + \frac{h f_{2}}{c} cos β . \end{matrix}

Bevezetve az

\begin{matrix} \frac{m_{0} c^{2}}{h \sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} & = k_{0} és & (1) \\ \frac{m_{0} v c}{h \sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} & = k_{1} & (2) \end{matrix}

jelöléseket (ezek a feladat kezdeti adatai által meghatározott, tehát elvben ismert mennyiségek), a megmaradási törvények áttekinthetőbb alakba írhatók:

\begin{matrix} f_{1} + f_{2} = k_{0}, & (3) \\ f_{1} sin α = f_{2} sin β, & (4) \\ f_{1} cos α + f_{2} cos β = k_{1} . & (5) \end{matrix}

A (3) és (4) egyenletekből

\begin{matrix} f_{1} = k_{0} \frac{sin β}{sin α + sin β}, illetve f_{2} = k_{0} \frac{sin α}{sin α + sin β}, \end{matrix}

melyeket (5)-be helyettesítve

\begin{matrix} sin β cos α + sin α cos β = \frac{k_{1}}{k_{0}} (sin α + sin β) \end{matrix}

adódik. Innen (1) és (2), valamint trigonometrikus azonosságok felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos (\frac{α + β}{2}) = \frac{v}{c} cos (\frac{α - β}{2}) . \end{matrix}

Látható, hogy a két foton

α + β

szöge akkor a legkisebb, amikor

cos (\frac{α - β}{2})

a legnagyobb, vagyis amikor

α = β

, tehát amikor a két foton a bomló részecske kezdeti impulzusára nézve szimmetrikusan mozog. Ilyenkor a fotonok frekvenciája is megegyezik, és a haladási irányuk által bezárt szög

\begin{matrix} {(α + β)}_{{min}_{}^{}} = 2 arccos \frac{v}{c} . \end{matrix}

b)

Ha a két foton egymással ellentétes irányban mozog (vagyis

β = 180^{\circ} - α)

, és ez az irány különbözne a bomló részecske haladási irányától, akkor (4) szerint

f_{1} - f_{2} = 0

, (5) alapján viszont

\begin{matrix} f_{1} - f_{2} = \frac{k_{1}}{cos α} \neq 0 \end{matrix}

kellene egyszerre teljesüljön. Ez az ellentmondás csak akkor oldódik fel, ha

sin α = 0

, vagyis az egyik foton a bomló részecske sebességével megegyező, a másik foton pedig ezzel ellentétes irányban kell mozogjon. Ebben az esetben (3) és (5) egyenletek alapján a fotonok energiája:

\begin{matrix} E_{1} = \frac{m_{0} c}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \cdot \frac{c + v}{2}, E_{2} = \frac{m_{0} c}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \cdot \frac{c - v}{2} . \end{matrix}