Feladat: 3721. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kómár Péter 
Füzet: 2005/február, 110 - 112. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elemi részecskék, Relativisztikus dinamika, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/május: 3721. fizika feladat

Egy m0 nyugalmi tömegű részecske v sebességgel halad és két fotonra bomlik.
a) Mekkora lehet a két foton mozgási iránya által bezárt szög legkisebb értéke?
b) Ha a két foton ellentétes irányban mozog, mekkora lehet az energiájuk?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Az m0 nyugalmi tömegű, v sebességű részecske (teljes) energiája és impulzusa

E=m0c21-v2c2,p=m0v1-v2c2.
Ugyanezek a mennyiségek egy f frekvenciájú fotonra:
Ef=hf,pf=hfc,
ahol h a Planck-állandó és c a fénysebesség.
Tételezzük fel, hogy a mozgó instabil részecske egy f1 és egy f2 frekvenciájú fotonra bomlik, s ezek ‐ az ábrán látható módon ‐ a bomló részecske kezdeti haladási irányával α, illetve β szöget bezáró irányokban haladnak tovább.
 
 

Az energia és az impulzusvektor-komponensek megmaradási törvénye szerint
m0c21-v2c2=hf1+hf2,0=hf1csinα-hf2csinβ,m0v1-v2c2=hf1ccosα+hf2ccosβ.


Bevezetve az
m0c2h1-v2c2=k0és(1)m0vch1-v2c2=k1(2)
jelöléseket (ezek a feladat kezdeti adatai által meghatározott, tehát elvben ismert mennyiségek), a megmaradási törvények áttekinthetőbb alakba írhatók:
f1+f2=k0,(3)f1sinα=f2sinβ,(4)f1cosα+f2cosβ=k1.(5)



A (3) és (4) egyenletekből
f1=k0sinβsinα+sinβ,illetvef2=k0sinαsinα+sinβ,
melyeket (5)-be helyettesítve
sinβcosα+sinαcosβ=k1k0(sinα+sinβ)
adódik. Innen (1) és (2), valamint trigonometrikus azonosságok felhasználásával kapjuk, hogy
cos(α+β2)=vccos(α-β2).
Látható, hogy a két foton α+β szöge akkor a legkisebb, amikor cos(α-β2) a legnagyobb, vagyis amikor α=β, tehát amikor a két foton a bomló részecske kezdeti impulzusára nézve szimmetrikusan mozog. Ilyenkor a fotonok frekvenciája is megegyezik, és a haladási irányuk által bezárt szög
(α+β)min=2arccosvc.

b) Ha a két foton egymással ellentétes irányban mozog (vagyis β=180-α), és ez az irány különbözne a bomló részecske haladási irányától, akkor (4) szerint f1-f2=0, (5) alapján viszont
f1-f2=k1cosα0
kellene egyszerre teljesüljön. Ez az ellentmondás csak akkor oldódik fel, ha sinα=0, vagyis az egyik foton a bomló részecske sebességével megegyező, a másik foton pedig ezzel ellentétes irányban kell mozogjon. Ebben az esetben (3) és (5) egyenletek alapján a fotonok energiája:
E1=m0c1-v2c2c+v2,E2=m0c1-v2c2c-v2.