Feladat: 3698. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Halász Gábor ,  Rakyta Péter 
Füzet: 2005/január, 49 - 51. oldal  PDF file
Témakör(ök): Merev test egyensúlya, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/március: 3698. fizika feladat

R sugarú műanyag hengerből kivágunk egy R2 sugarú, henger alakú részt. A kivágott henger tengelye párhuzamos a henger tengelyével, távolságuk d. Az így kapott ,,lyukas hengert'' egy lejtőre helyezzük úgy, hogy a henger tengelye vízszintes legyen. Mekkora hajlásszögű lejtőn állhat a lyukas henger biztos egyensúlyi helyzetben? (A súrlódás elegendően nagy.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A lyukas henger (mint merev test) egyensúlyának feltétele az, hogy a rá ható erők eredője is és a forgatónyomatékok eredője is nulla legyen. A hengerre ható külső erők eredője nyilván lehet nulla, hiszen a súrlódás elegendően nagy; probléma csak a forgatónyomatékokkal lehet.
Ha a tömör henger tömege m lenne, akkor a lyukas résznek megfelelő anyagmennyiség m/4 tömegű. Tekintsük az 1. ábrán látható helyzetet, és írjuk fel a nehézségi erő forgatónyomatékát a henger és a lejtő érintkezési pontjára vonatkoztatva!

 
 

1. ábra
 

Egy tömör henger esetében a forgatónyomaték
mgRsinα
lenne, de mivel a lyukas részben levő anyagmennyiség hiányzik, ennek forgatónyomatékát le kell vonni a fenti kifejezésből, s a maradék
M=mgRsinα-m4g(Rsinα+dsinβ).

 
Megjegyzés. A fenti képlet úgy is értelmezhető, mintha a lyukas részre negatív (tehát függőlegesen felfelé mutató) gravitációs erő hatna, aminek forgatónyomatéka ellentétes a tömör hengerre ható forgatónyomatékkal.
 
Az eredő forgatónyomaték egyensúly esetében nulla kell legyen, ahonnan
sinα=d3Rsinβd3R.(1)

Az (1) egyenlőtlenség határesetében nem lehet biztos az egyensúly, hiszen csak egyetlen helyzetben, β=90-nál teljesül M=0. Ebből a helyzetből tetszőlegesen kicsit kimozdítva a lyukas hengert, az menthetetlenül legurul a lejtőn. Ha viszont határozottan az egyenlőtlenség teljesül, akkor biztos (stabil) egyensúly alakul ki, feltéve, hogy a lyukas rész a henger bal felső negyedébe esik. Képzeljük el ugyanis, hogy a lyukas hengert az egyensúlyi helyzetéből egy kicsit felfele gördítjük a lejtőn. Ekkor a ,,negatív gravitáció'' forgatónyomatéka lecsökken, tehát az eredő nyomaték az egyensúlyi helyzet felé forgatja vissza a rendszert; hasonló történik akkor is, ha az ellenkező irányba térítjük ki a hengert az egyensúlyából. Ugyanígy látható be, hogy ha a lyukas rész a henger bal alsó negyedében található, akkor az egyensúly bizonytalan (instabil).
 
II. megoldás. Számítsuk ki, hogy milyen messze van a lyukas henger tömegközéppontja a henger tengelyétől! Ha s-sel jelöljük ezt a távolságot és 34m-mel a lyukas henger tömegét, akkor a lyukból hiányzó tömeg 14m, és ha ezzel kiegészítjük a lyukas hengert, a tömegközéppont a szimmetriatengelyre kerül. Ennek feltétele:
34ms=14md,
ahonnan s=d/3 következik.
Induljunk ki a lyukas henger egy olyan helyzetéből, amikor a tömegközéppontja éppen a henger tengelye alatt helyezkedik el, és számítsuk ki, hogy mennyivel változik meg a gravitációs helyzeti energiája, ha a hengert a lejtőn lefelé csúszásmentesen gördítve x szöggel elforgatjuk. A 2. ábráról (amely az áttekinthetőség kedvéért nem méretarányos) leolvasható, hogy a henger xR szakasznyit mozdul el a lejtő mentén, a henger tengelye tehát xRsinα-val mélyebbre kerül, a tömegközéppontja viszont a henger tengelyéhez képest s(1-cosx) távolságnyival megemelkedik. A rendszer teljes helyzeti energiája tehát (ha a kezdeti helyzetet tekintjük nulla energiájúnak)
E(x)=34mg[-xRsinα+d3(1-cosx)]
nagyságú lesz.
 
 

2. ábra
 

Biztos (stabil) egyensúlyi helyzet ott alakul ki, ahol az E(x) függvénynek lokális minimuma van; ennek feltétele pedig E'(x)=0 és E''(x)>0. Az előbbi a
-Rsinα+d3sinx=0(2)
egyenletre vezet, aminek x-re csak akkor van megoldása, ha
sinαd3R.(3)
A második derivált akkor pozitív, ha
cosx>0,(4)
emiatt (3)-ban az egyenlőség nem valósulhat meg, hiszen ekkor (2) szerint sinx=1 állna fenn, ez pedig ellentmondana (4)-nek.
A feladat megoldása tehát: sinα<d3R.