Feladat: B.3682 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Magda Gábor ,  Treszkai László 
Füzet: 2005/január, 30 - 31. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Legnagyobb közös osztó, Legkisebb közös többszörös, Oszthatósági feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/december: B.3682

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata egyenlő a két szám szorzatával:

(a;b)⋅[a;b]=a⋅b.
Jelöljük a és b legnagyobb közös osztóját a továbbiakban d-vel. A feladat feltétele szerint d+[a;b]=a+b. Felhasználva az említett összefüggést, az alábbi egyenletet kapjuk:
d+a⋅bd=a+b,
Rendezés után szorzattá alakíthatunk:
d2-(a+b)⋅d+a⋅b=(d-a)(d-b)=0.

Ha d=a, azaz a legnagyobb közös osztó a-val egyenlő, akkor b többszöröse a-nak. Ha pedig d=b, akkor a többszöröse b-nek. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
 
II. megoldás. Legyen a=d⋅ℓ és b=d⋅k, ahol k és ℓ relatív prímek. Így (a;b)=d és [a;b]=d⋅k⋅ℓ.
Az egyenlet: d+d⋅k⋅ℓ=d⋅ℓ+d⋅k. Nyilván d≠0, így oszthatunk vele:
1+k⋅ℓ=ℓ+k,k⋅ℓ-ℓ-k+1=0,(k-1)(ℓ-1)=0,
ahonnan k=1 vagy ℓ=1 adódik. Mindkét esetben valamelyik adott számmal egyenlő a legnagyobb közös osztó, s ekkor ez a szám osztója a másiknak.