Feladat: B.3668 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bednay Dezső ,  Bekényi Balázs ,  Bereczki Péter ,  Birkus Róbert ,  Bogár Péter ,  Csakurda Edit ,  Csizmadia János ,  Czank Tamás ,  Dudás János ,  Erdélyi Márton ,  Filus Tamás ,  Holló László ,  Hubai Tamás ,  Kaposi Ambrus ,  Kecskeméti Szabolcs ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kórus Péter ,  Kovács Dóra Judit ,  Kunovszki Péter ,  Meszéna Balázs ,  Nagy Csaba ,  Nagy Péter ,  Nikházy László ,  Ozsvárt László ,  Pálinkás Csaba ,  Poronyi Balázs ,  Sándor Ágnes Petra ,  Sümegi Károly ,  Szabó Balázs ,  Szabó Tamás ,  Vaskó Richárd ,  Vass Márton ,  Vincze János ,  Üveges Lilla 
Füzet: 2005/január, 28 - 30. oldal  PDF file
Témakör(ök): Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: B.3668

Milyen a és b valós számokra igaz, hogy minden x[0;1] esetén |x2-ax-b|18?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Elegendő megvizsgálnunk, hogy hol van olyan x0, amelyre az x[x0;x0+1] intervallumban az xx2 függvény legnagyobb és legkisebb értéke közti különbség legfeljebb 14. Ha ugyanis egy ilyen x0-ra a függvény grafikonját az x-tengellyel párhuzamosan eltoljuk úgy, hogy az x0 a 0-ba, majd az y-tengellyel párhuzamosan eltoljuk úgy, hogy a minimum értéke a -18-ba kerüljön, akkor a kapott xx2-ax-b függvényre teljesül a feladat előírása.

 
 

Megfordítva, minden megfelelő a és b számra az xx2-ax-b függvényre alkalmas lineáris transzformációt alkalmazva az xx2 függvényhez jutunk, amely valamilyen [x0;x0+1] intervallumon legfeljebb 14-et változik. Keressünk tehát az xx2 függvényhez ilyen x0 értékeket. Az egyszerűség kedvéért jelölje az xx2 függvény maximumát és minimumát az [x0;x0+1] intervallumon Mx0 és mx0. Az x0 lehetséges értékei szerint több esetet különböztetünk meg.
1. eset: x00. Ekkor a függvény az [x0;x0+1] intervallumban szigorúan monoton növekvő, a minimumát x0-ban, a maximumát (x0+1)-ben veszi föl.
Mx0-mx0=(x0+1)2-x02=2x0+11.

2. eset: x0-1. Ekkor a függvény az [x0;x0+1] intervallumban szigorúan monoton csökkenő, a maximumát x0-ban, a minimumát (x0+1)-ben veszi föl.
Mx0-mx0=x02-(x0+1)2=-2x0-11.

3. eset: -1<x0-12. Ekkor |x0|x0+1, tehát Mx0=x02 és mx0=0, így Mx0-mx014 akkor és csak akkor teljesül, ha |x0|12, ami a megadott intervallumon csak az x0=-12 esetben lehetséges.
4. eset: -12<x00. Ekkor |x0|<x0+1, tehát Mx0=(x0+1)2 és mx0=0. Most Mx0-mx014 akkor és csak akkor teljesül, ha |x0+1|12, ami most nem lehetséges, hiszen x0+1>12.
Tehát x0=-12 az egyetlen olyan érték, hogy az xx2 függvény megváltozása az [x0;x0+1] intervallumon legfeljebb 14 ‐ és ezen az intervallumon éppen ennyi. Így tehát mind az x-, mind az y-tengellyel párhuzamos eltolás egyértelműen meghatározott:
f(x)=(x-12)2-18=x2-x+18.
Így a megadott feltétel egyedül az a=1 és a b=-18 esetben teljesül.
 
II. megoldás. Vezessük be az f(x)=x2-ax-b függvényt. A feladat feltétele ekkor |f(x)|18, ha 0x1. A megoldásból kiderül, hogy az f függvényt már három alkalmas helyettesítési érték, f(0), f(12) és f(1) meghatározza.
f(0)=-b;f(12)=14-a2-b;f(1)=1-a-b.

(1) |f(0)|18 akkor és csak akkor teljesül, ha -18b18.
(2) |f(12)|18 akkor és csak akkor teljesül, ha 18a2+b38.
(3) |f(1)|18 akkor és csak akkor teljesül, ha 78a+b98.
Ábrázoljuk a három egyenlőtlenség megoldáshalmazát egy derékszögű koordinátarendszerben.
Az ábráról leolvasható, hogy a (2) és (3) egyenlőtlenség megoldáshalmazát a PQRS paralelogramma szemlélteti. A P csúcs koordinátái P(1;-18), a paralelogramma többi része pedig az y=-18 egyenes alatt van. Így a P pont az egyetlen, amelynek koordinátáira mindhárom egyenlőtlenség teljesül, ha van a feladatnak megoldása, akkor csak a=1, b=-18 lehetséges.
 
 

Az pedig ‐ például teljes négyzetté alakítva ‐ nyomban adódik, hogy az f(x)=x2-x+18 függvényre teljesül a feladat előírása. Valóban: f(x)=(x-12)2-18 és ha 0x1, akkor |x-12|12, tehát
-18f(x)14-18=18.

 
Megjegyzések. 1. Könnyű meggondolni, hogy az a=1, b=-18 értékeket már az f(0)-18; f(12)-18; f(1)18 feltételek is meghatározzák.
2. Igen gyorsan célhoz érünk, ha észrevesszük, hogy
f(0)+f(1)2=12-a2-b=14+f(12),
ahonnan ‐ felhasználva a feltételt ‐ kapjuk, hogy
018+f(12)=f(0)-18+f(1)-1820,
tehát csak f(12)=-18 és f(0)=f(1)=18 lehetséges. Ezek az értékek a másodfokú polinomot egyértelműen meghatározzák.