|
Feladat: |
F.2498 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Kocsis Katalin , Ratkó Julianna [1982-1986] |
Füzet: |
1985/május,
203 - 205. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Körülírt kör középpontja, Indirekt bizonyítási mód, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Jensen-féle egyenlőtlenség, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/november: F.2498 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Állítjuk, hogy a szóban forgó háromszög körülírt körének középpontja minden háromszögben megfelel az állításnak. Hegyesszögű háromszög esetén ez belső pont, és a csúcsoktól egyenlő távolságra van. Előkészítésül bebizonyítjuk azt a nevezetes tételt, hogy adott sugarú körbe írható háromszögek közül a szabályosnak a legnagyobb a területe.
1. ábra Írjunk be a körbe egy nem-szabályos háromszöget, és jelöljük -val, -vel legnagyobb, illetve legkisebb szögének csúcsát (1. ábra). Nyilvánvaló, hogy az -nál levő szög nagyobb, mint , a -nél levő pedig kisebb nála. Mérjük föl a szöget az egyenes -t tartalmazó partján. Az új szárnak -n levő pontja távolabb van az alaptól, mint , így az háromszög területe nagyobb, mint területe. Valóban, a -n átmenő, -vel párhuzamos egyenesnek -n levő pontjára , tehát a szögtartományban halad. Az háromszögben -nál -os szög van. Ha a -nél és -nél levő szögek nem -osak, akkor egyik kisebb, a másik nagyobb, mint , ezért ennél is nagyobb területű, a -ba írt háromszöget mutathatunk fel: ennek új, csúcsát a húr felező merőlegese metszi ki a -t tartalmazó ívből. Ekkor az ívnek a alaptól legtávolabbi pontja, az háromszög területe nagyobb, mint az háromszög területe, másfelől , és . Ez pedig azt jelenti, hogy az háromszög szabályos. Területe tovább nem növelhető. Ezzel bebizonyítottuk állításunkat. Segédtételünkből következik, hogy ha különböző alakú, de egyenlő területű háromszögeknek tekintjük a körülírt körét, ezek sugarai közül a szabályos háromszög köré írt körnek a sugara kisebb lesz, mint bármely más alakú háromszög esetében. Ezt indirekt úton látjuk be. Legyenek és egységnyi területű háromszögek, és szabályos, nem-szabályos, körülírt körük sugara , ill. állítjuk, hogy . Ha ugyanis volna, vegyük az sugarú körbe írt szabályos háromszöget. Ennek területére a tétel szerint (amennyi területe). -ból arányú (lineáris) nagyítással kapnánk -et, és eszerint területe lenne, hiszen föltevésünk szerint . Az ellentmondás mutatja állításunk helyességét. Már most az egységnyi területű szabályos háromszög oldala , a köréje írt kör sugara pedig éppen az állításban szereplő állandó. 2. ábra Ha tehát egységnyi területű háromszögek csúcsai körül ezen sugárral írunk köröket, e kör szabályos háromszög esetében a középpontban metszi egymást, más alakú háromszögben pedig nem tartalmazzák annak középpontját, ilyenkor a középpont körüli lefedetlen síkrész ( körív és még esetleg egyenes szakaszok határolják) minden pontja megfelel az állításnak. II. megoldás. Írjuk fel a háromszög területét szögei és a körülírt kör sugara segítségével: | | Ebből: Alkalmazzuk a pozitív számokra a számtani‐mértani közép közti egyenlőtlenséget, majd mivel a függvény a intervallumban konkáv, a Jensen-egyenlőtlenséget: | | Ezt behelyettesítve (1)-be: amivel beláttuk, hogy a háromszög körülírt körének középpontja a feladat feltételeinek megfelelő pont. Lásd pl. Molnár Emil: Matematikai versenyfeladatok gyűjteménye 1947‐1970 (Tankönyvkiadó, Budapest 1974) 516. oldal. |
|