Feladat: C.778 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2005/március, 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/október: C.778

Egy számtani sorozatban jelölje Sm a sorozat első m elemének az összegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n>k1 esetén
Sn+kn+k=Sn-Skn-k.

 
 

Megoldás. Használjuk fel a számtani sorozat ismert összegképletét. A feltétel szerint n>k, ezért az Sn-Sk összeget az ak+1,ak+2,...,an tagok összege adja:
Sn-Sk=n-k2(ak+1+an).

Írjuk fel a sorozat tagjait az első tag és a különbség segítségével:
Sn-Sk=n-k2(2a1+kd+(n-1)d)=n-k2(2a1+(k+n-1)d).
Mivel
Sn+k=n+k2(2a1+(n+k-1)d),
innen a feladat állításait kapjuk.