A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a háromszög beírható körének középpontja , sugara pedig . Ekkor a háromszög területe , vagyis a feladat feltételéből: adódik. Ha a háromszög csúcsait a szokásos módon , , jelöli, a beírt körnek az oldalakon lévő érintési pontjai pedig , és , akkor . (Ennek bizonyítása megtalálható pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL, 2002/3. szám, 130‐139. old.)
Az négyszög tehát rombusz, mert minden oldala hosszú, továbbá van két derékszöge, mert a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Ezért négyzet, vagyis az háromszög -nél lévő szöge derékszög. Ez egyúttal a háromszög legnagyobb szöge is, tehát a keresett szög -os.
II. megoldás. Héron képlete szerint a háromszög területe: | | Tehát esetünkben | | amiből négyzetre emelés és -vel való osztás után kapjuk, hogy | | Ezt átalakítva adódik, amiből -et kifejezve kapjuk, hogy . Ez Pitagorasz tételének megfordítása szerint azt jelenti, hogy a háromszög oldallal szemközti szöge derékszög. Nyilvánvaló, hogy ez a derékszög egyben a háromszög legnagyobb szöge is. |