Feladat: B.3747 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Mészáros Gábor 
Füzet: 2005/március, 160 - 161. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Heron-képlet, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/szeptember: B.3747

Egy háromszög oldalai a, b, c, területe (a+b+c)(a+b-c)4. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

I. megoldás. Legyen a háromszög beírható körének középpontja O, sugara pedig r. Ekkor a háromszög területe ra+b+c2, vagyis a feladat feltételéből:
r=a+b-c2
adódik. Ha a háromszög csúcsait a szokásos módon A, B, C jelöli, a beírt körnek az oldalakon lévő érintési pontjai pedig D, E és F, akkor CD=CE=a+b-c2. (Ennek bizonyítása megtalálható pl. Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL, 2002/3. szám, 130‐139. old.)
 
 

Az ODCE négyszög tehát rombusz, mert minden oldala a+b-c2 hosszú, továbbá van két derékszöge, mert a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Ezért ODCE négyzet, vagyis az ABC háromszög C-nél lévő szöge derékszög.
Ez egyúttal a háromszög legnagyobb szöge is, tehát a keresett szög 90-os.
 
II. megoldás. Héron képlete szerint a háromszög területe:
14(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a).
Tehát esetünkben
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a+b+c)(a+b-c),
amiből négyzetre emelés és (a+b+c)(a+b-c)-vel való osztás után kapjuk, hogy
(a-b+c)(b+c-a)=(a+b+c)(a+b-c).
Ezt átalakítva c2-(a-b)2=(a+b)2-c2 adódik, amiből c2-et kifejezve kapjuk, hogy c2=a2+b2.
Ez Pitagorasz tételének megfordítása szerint azt jelenti, hogy a háromszög c oldallal szemközti szöge derékszög. Nyilvánvaló, hogy ez a derékszög egyben a háromszög legnagyobb szöge is.