Feladat: B.3742 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bozi Áron ,  Cseh Ágnes ,  Cserép Gergely ,  Csóka Győző ,  Dudás János ,  Eisenberger András ,  Farkas Ádám László ,  Grósz Dániel ,  Horváth Eszter ,  Juhász Gergely ,  Károlyi Gergely ,  Kiss Viktor ,  Kiss-Tóth Christián ,  Knippl Diána ,  Kovács Péter ,  Kovács Zoltán ,  Mátyás Péter ,  Mészáros Gábor ,  Muntag Lőrinc ,  Nagy Péter ,  Nagy-Baló András ,  Németh Attila György ,  Regős Gábor ,  Strenner Balázs ,  Szabó Tamás ,  Szalkai Balázs ,  Szilágyi Áron ,  Tardos Zsófia ,  Tóth Balázs ,  Udvari Balázs ,  Ureczky Bálint ,  Vásárhelyi Bálint Márk ,  Wojuteczky Péter 
Füzet: 2005/május, 277 - 278. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/szeptember: B.3742

Egy 35 fős osztály tanulói két csoportba oszthatók: a kockafejűekre és az égimeszelőkre. Az égimeszelők állítják, hogy magasabbak a kockafejűeknél, akik viszont jobb matekosnak tartják magukat. Egyikük egyszer azt kérdezte egy égimeszelőtől: ,,Mit értetek azon, hogy ti magasabbak vagytok nálunk? Talán azt, hogy
1. Minden égimeszelő magasabb valamennyi kockafejűnél?
2. Több alacsonyabb kockafejű van a legalacsonyabb égimeszelőnél, mint ahány alacsonyabb égimeszelő van a legmagasabb kockafejűnél?
3. Többen vannak azok az égimeszelők, akiknél vannak alacsonyabb kockafejűek, mint azok a kockafejűek, akiknél vannak alacsonyabb égimeszelők?
4. A kockafejűek átlagmagassága kisebb az égimeszelők átlagmagasságánál?''
A kérdések hallatán az égimeszelő szemmel láthatóan összezsugorodott ... A feladat viszont az, hogy megállapítsuk, milyen viszonyban állnak a fenti kijelentések, azaz bármely két állítás esetén döntsük el, következik-e egyikükből a másik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Először belátjuk, hogy az 1. állításból következik a 2., 3., 4. állítás. Legyen n égimeszelő és m kockafejű (m,n>0).
12, mert m>0. (Feltettük, hogy az 1. teljesül.)
13, mert n>0. (Feltettük, hogy az 1. teljesül.)
14, mert az értékek átlaga a legalacsonyabb és a legmagasabb érték közé esik. A legalacsonyabb égimeszelő magasabb a legmagasabb kockafejűnél, az 1. teljesülése esetén.
Ezek után lássunk néhány példát az osztály lehetséges összetételéről:
 
 

A 2. állításból nem következik az 1. állítás. Ellenpélda lehet az 1. összetétel, mert 2>1, de egy égimeszelő nem magasabb minden kockafejűnél.
A 2. állításból nem következik a 3. állítás. Ellenpélda lehet az 1. összetétel, mert 2>1, de 16 nem nagyobb, mint 17.
A 2. állításból nem következik a 4. állítás. Ellenpélda lehet a 3. összetétel, mert 5>4, de 175,0 nem nagyobb, mint 186,7.
A 3. állításból nem következik az 1. állítás. Ellenpélda lehet a 2. összetétel, mert 16>12, de van olyan égimeszelő, akinél van magasabb kockafejű.
A 3. állításból nem következik a 2. állítás. Ellenpélda lehet a 2. összetétel, mert 16>12, de 7 nem nagyobb, mint 8.
A 3. állításból nem következik a 4. állítás. Ellenpélda lehet a 4. összetétel, mert 16>12, de 172,3 nem nagyobb, mint 182,6.
A 4. állításból nem következik az 1. állítás. Ellenpélda lehet az 1. összetétel, mert 172,9>171,8, de van olyan égimeszelő, akinél van magasabb kockafejű.
A 4. állításból nem következik a 2. állítás. Ellenpélda lehet a 2. összetétel, mert 172,0>171,3, de 7 nem nagyobb, mint 8.
A 4. állításból nem következik a 3. állítás. Ellenpélda lehet az 1. összetétel, mert 172,9>171,8, de 16 nem nagyobb, mint 17.
A feladat kérdésére válaszunkat a következő táblázatban foglaljuk össze: