Kezdőlap


Feladat:	B.3738	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy-Baló András
Füzet:	2005/március, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/május: B.3738

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Helyettesítsünk¹ $x$ helyébe $(a + 2)$ -t:

\begin{matrix} a = \sqrt[]{4 - 3 \sqrt[]{4 - 3 \sqrt[]{10 - 3 a - 6}}} = \sqrt[]{4 - 3 \sqrt[]{4 - 3 \sqrt[]{4 - 3 a}}} . \end{matrix}

Legyen

f (x) = \sqrt[]{4 - 3 x}

. Azt az

a

értéket keressük, amelyre

a = f (f (f (a)))

.
Ha

a = f (a)

, akkor ez nyilván teljesül.

a = f (a)

akkor áll fenn, ha az

a \geq 0

a \leq \frac{4}{3}

feltételek mellett

a^{2} + 3 a - 4 = 0

, amiből

a = 1

, tehát

x = 3

.
Meg kell vizsgálnunk, hogy ezen kívül van-e még olyan

a

, amely eleget tesz az

a = f (f (f (a)))

egyenletnek.

a

nem lehet negatív, mert eleme

f

értékkészletének, ezért elegendő a további

a

megoldásokat a

[0; 1)

, illetve

(1; \frac{4}{3}]

intervallumokban keresni.

f

[0; 1)

intervallumból származó az elemeket

(1; 2]

intervallumba viszi, az

(1; \frac{4}{3}]

intervallumból eredőket pedig

[0; 1)

-be.
Ezért

a \in [0; 1)

esetén

f (f (f (a))) \in (1; 2]

;

a \in (1; 2]

esetén pedig

f (f (f (a))) \in [0; 1)

(feltéve, hogy értelmes a kifejezés). Ez pedig azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs más megoldása.

Megjegyzés. Hiányos az az indoklás, amely szerint

\begin{matrix} a = f (f (... (f (a) ...))) \end{matrix}

csak akkor lehetséges, ha

a = f (a)

. Több beküldő egyszerűsítette ily módon a feladat megoldását, természetesen hibásan. Ez még monoton függvények esetén sem feltétlenül igaz. Az

f (x) = - x

függvény monoton, mégsem igaz, hogy

f (f (x)) = x

csak akkor állhat fenn, ha

x = f (x)

(hiszen

f (f (x)) = x

minden

x

-re). Ugyanígy elképzelhető, hogy

a \neq f (a)

a \neq f (f (a))

, de

a = f (f (f (a)))

. Ilyen ‐ bár nem monoton ‐ függvényekről szól a B. 3541. feladat (KöMaL 2003/2. sz., 89. oldal), ahol a megjegyzésben például az

f (x) = \frac{x - 3}{x - 2}

függvény szerepel és módszer is látható ilyen tulajdonságú elsőfokú törtfüggvények készítésére. A B. 3481. feladatban vizsgált

f (x) = - \frac{2 x + 7}{x + 3}

függvény is ilyen, éppen ezen a tulajdonságon múlik a feladat megoldása (KöMaL 2002/1. sz., 40. oldal).

¹Ezzel a helyettesítéssel megkaptuk a B. 3579. feladatot, amelynek a megoldása a KöMaL 2003/3. számának 153. oldalán olvasható.