Feladat: B.3738 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nagy-Baló András 
Füzet: 2005/március, 159 - 160. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Függvényvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/május: B.3738

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
x-2=4-34-310-3x.

Megoldás. Helyettesítsünk1 x helyébe (a+2)-t:
a=4-34-310-3a-6=4-34-34-3a.

Legyen f(x)=4-3x. Azt az a értéket keressük, amelyre a=f(f(f(a))).
Ha a=f(a), akkor ez nyilván teljesül. a=f(a) akkor áll fenn, ha az a0, a43 feltételek mellett a2+3a-4=0, amiből a=1, tehát x=3.
Meg kell vizsgálnunk, hogy ezen kívül van-e még olyan a, amely eleget tesz az a=f(f(f(a))) egyenletnek.
a nem lehet negatív, mert eleme f értékkészletének, ezért elegendő a további a megoldásokat a [0;1), illetve (1;43] intervallumokban keresni.
f a [0;1) intervallumból származó az elemeket (1;2] intervallumba viszi, az (1;43] intervallumból eredőket pedig [0;1)-be.
Ezért a[0;1) esetén f(f(f(a)))(1;2]; a(1;2] esetén pedig f(f(f(a)))[0;1) (feltéve, hogy értelmes a kifejezés). Ez pedig azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs más megoldása.
 
Megjegyzés. Hiányos az az indoklás, amely szerint
a=f(f(...(f(a)...)))
csak akkor lehetséges, ha a=f(a). Több beküldő egyszerűsítette ily módon a feladat megoldását, természetesen hibásan. Ez még monoton függvények esetén sem feltétlenül igaz. Az f(x)=-x függvény monoton, mégsem igaz, hogy f(f(x))=x csak akkor állhat fenn, ha x=f(x) (hiszen f(f(x))=x minden x-re). Ugyanígy elképzelhető, hogy af(a), af(f(a)), de a=f(f(f(a))). Ilyen ‐ bár nem monoton ‐ függvényekről szól a B. 3541. feladat (KöMaL 2003/2. sz., 89. oldal), ahol a megjegyzésben például az f(x)=x-3x-2 függvény szerepel és módszer is látható ilyen tulajdonságú elsőfokú törtfüggvények készítésére. A B. 3481. feladatban vizsgált f(x)=-2x+7x+3 függvény is ilyen, éppen ezen a tulajdonságon múlik a feladat megoldása (KöMaL 2002/1. sz., 40. oldal).
1Ezzel a helyettesítéssel megkaptuk a B. 3579. feladatot, amelynek a megoldása a KöMaL 2003/3. számának 153. oldalán olvasható.