Kezdőlap


Feladat:	B.3730	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ablonczy Dávid , Antal László , Birkus Róbert , Bitai Tamás , Bogár Péter , Csajbók Bence , Cserép Gergely , Estélyi István , G. Szabó Kálmán , Gombkötő Tamás , Gyarmati Gábor , Haszpra Tímea , Hegyháti Máté , Hülber Tímea , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss-Tóth Christián , Komáromy Dani , Kónya Gábor , Kovács Judit , Kunovszki Péter , Lorántfy Bettina , Majoros Csilla , Nagy Csaba , Nikházy László , Pálinkás Csaba , Pesti Veronika , Petényi Franciska , Stippinger Marcell , Strenner Balázs , Sümegi Károly , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szilágyi Csaba
Füzet:	2005/február, 92 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis, mint mértani hely, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: B.3730

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyünk fel egy koordinátarendszert úgy, hogy az origója $O$ legyen, az $A$ koordinátái $(a; 0)$ legyenek, $E$ pedig az első síknegyedbe essen (1. ábra). Ekkor $k_{b}$ egyenlete $X^{2} + Y^{2} = b^{2}$ . Mivel a kör érintője merőleges az érintési pontban húzott sugárra, azért $E$ rajta van $O A$ Thalész körén, amelynek egyenlete:

\begin{matrix} {(X - \frac{a}{2})}^{2} + Y^{2} = \frac{a^{2}}{4} . \end{matrix}

E

koordinátái

k_{b}

egyenletét is kielégítik, tehát a két köregyenlet egymásból való kivonásával kapott:

\begin{matrix} - a X + \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} - b^{2} \end{matrix}

egyenletnek is eleget tesznek. Vagyis

E

első koordinátája

x = \frac{b^{2}}{a}

, s ezért második koordinátája

k_{b}

egyenletéből adódóan:

\begin{matrix} y = \sqrt[]{b^{2} - \frac{b^{4}}{a^{2}}} = b \frac{\sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}{a} . \end{matrix}

Így az

O E

egyenes egyenlete

\begin{matrix} O E : Y = \frac{\sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}{b} X . \end{matrix}

1. ábra

P

első koordinátáját

p

-vel jelöljük (

p \in [0; \frac{b^{2}}{a}]

tetszőleges), akkor második koordinátája

O E

egyenletéből számolható:

y = p \frac{\sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}{b}

. Ezért a

P

-ben

O E

-re állított

R Q

merőleges egyenlete

\begin{matrix} R Q : Y - \frac{p \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}}{b} = \frac{- b}{\sqrt[]{a^{2} - b^{2}}} (X - p) . \end{matrix}

T

pont második koordinátája

0

, ezért az előző egyenletből adódóan első koordinátája

x = \frac{p a^{2}}{b^{2}}

. Ez megegyezik az

S_{i}

pontok első koordinátájával is. Mivel a

P Q

szakasz hossza Pitagorasz tételéből:

\begin{matrix} P Q = \sqrt[]{O Q^{2} - O P^{2}} = \sqrt[]{b^{2} - (p^{2} + \frac{p^{2} (a^{2} - b^{2})}{b^{2}})} = \sqrt[]{b^{2} - \frac{p^{2} a^{2}}{b^{2}}}, \end{matrix}

azért az

S_{i}

pontok koordinátái:

\begin{matrix} S_{1} : (\frac{p a^{2}}{b^{2}}; \sqrt[]{b^{2} - \frac{p^{2} a^{2}}{b^{2}}}) és S_{2} : (\frac{p a^{2}}{b^{2}}; - \sqrt[]{b^{2} - \frac{p^{2} a^{2}}{b^{2}}}) . \end{matrix}

Egyszerű számolással adódik, hogy

\begin{matrix} \frac{{(\frac{p a^{2}}{b^{2}})}^{2}}{a^{2}} + \frac{(b^{2} - \frac{p^{2} a^{2}}{b^{2}})}{b^{2}} = 1, \end{matrix}

tehát az

S_{i}

pontok rajta vannak azon az

E

ellipszisen, amelynek tengelyei illeszkednek a koordinátarendszer tengelyeire, nagytengelyének hossza

2 a

, kistengelyének hossza pedig

2 b

.
Megmutatjuk, hogy a keresett mértani hely

E

-nek azon fele, melyhez tartozó pontok első koordinátája nemnegatív. Mivel

p

[0; \frac{b^{2}}{a}]

intervallumban tetszőleges értéket felvehet, azért az

S_{i}

pontok első koordinátája

0

és

(\frac{b^{2}}{a}) \cdot (\frac{a^{2}}{b^{2}}) = a

közt minden értéket felvesz. A fél ellipszis tetszőleges pontja előáll tehát valamely

P

-hez tartozó

S_{i}

pontként.

II. megoldás. Koordináták használata nélkül is megoldható a feladat. Legyen

C_{i}

az a pont, amelyre az

O T S_{i} C_{i}

négyszög téglalap,

D_{i}

pedig a

C_{i} S_{i}

félegyenes és

k_{b}

metszéspontja (2. ábra).

2. ábra

O P Q

és az

O C_{i} D_{i}

háromszögek egybevágóak, mert mindkettő derékszögű és

O D_{i} = O Q

(= b)

valamint

O C_{i} = P Q

(= S_{i} T)

. Ezért

O P = C_{i} D_{i}

. Mivel

P T

és

E A

párhuzamosak, azért a párhuzamos szelők tétele szerint

O A : O E = O T : O P

. Felhasználva az előbb belátott egyenlőségeket, aránypárunkat átírhatjuk

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{C_{i} S_{i}}{C_{i} D_{i}} \end{matrix}

alakba. Ez azt jelenti, hogy az

S_{i}

pont előáll úgy, mint a

D_{i}

pont képe annál a

φ

merőleges tengelyes affinitásnál, amelynek tengelye

O C_{i}

, aránya pedig

\frac{a}{b}

.
Mivel az

O C_{i}

egyenes az

O A

-ra

O

-ban állított merőleges, azért helyzete nem függ

C_{i}

-től. Az

S_{i}

pontok mértani helye tehát megegyezik a

D_{i}

pontok mértani helyének

φ

-nél származó képével. A

D_{i}

-k mértani helye a

k_{b}

körnek az a fele, amelyik az

O C_{i}

egyenes által meghatározott zárt félsíkok közül az

A

-t tartalmazóba esik. Mivel egy kör képe merőleges tengelyes affinitásnál ellipszis, azért

k_{b}

képe

φ

-nél az az

E

ellipszis, melynek tengelyei illeszkednek az

O A

, illetve az

O C_{i}

egyenesekre, nagytengelyének hossza

2 a

, kistengelyének hossza pedig

2 b

.
A keresett mértani hely

E

-nek az a fele, amelyik az

O C_{i}

egyenes által meghatározott félsíkok közül az

A

-t tartalmazó zárt félsíkba esik.