Feladat: B.3730 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ablonczy Dávid ,  Antal László ,  Birkus Róbert ,  Bitai Tamás ,  Bogár Péter ,  Csajbók Bence ,  Cserép Gergely ,  Estélyi István ,  G. Szabó Kálmán ,  Gombkötő Tamás ,  Gyarmati Gábor ,  Haszpra Tímea ,  Hegyháti Máté ,  Hülber Tímea ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kiss-Tóth Christián ,  Komáromy Dani ,  Kónya Gábor ,  Kovács Judit ,  Kunovszki Péter ,  Lorántfy Bettina ,  Majoros Csilla ,  Nagy Csaba ,  Nikházy László ,  Pálinkás Csaba ,  Pesti Veronika ,  Petényi Franciska ,  Stippinger Marcell ,  Strenner Balázs ,  Sümegi Károly ,  Szalkai Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szilágyi Csaba 
Füzet: 2005/február, 92 - 94. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ellipszis, mint mértani hely, Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/április: B.3730

Az a sugarú ka és az (a>b) sugarú kb körök közös középpontja O. A ka-n lévő A pontból kb-hez húzott egyik érintő érintési pontja E. Az OE sugárra annak tetszőleges P pontjában állított merőleges a kb-t a Q és R pontokban, az AO egyenest pedig a T pontban metszi. Az AO-ra T-ben állított merőlegesre T-ből felmérve a PQ távolságot kapjuk az S1 és S2 pontokat. Mi az Si pontok mértani helye, ha P befutja az OE sugarat?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vegyünk fel egy koordinátarendszert úgy, hogy az origója O legyen, az A koordinátái (a;0) legyenek, E pedig az első síknegyedbe essen (1. ábra). Ekkor kb egyenlete X2+Y2=b2. Mivel a kör érintője merőleges az érintési pontban húzott sugárra, azért E rajta van OA Thalész körén, amelynek egyenlete:

(X-a2)2+Y2=a24.
E koordinátái kb egyenletét is kielégítik, tehát a két köregyenlet egymásból való kivonásával kapott:
-aX+a24=a24-b2
egyenletnek is eleget tesznek. Vagyis E első koordinátája x=b2a, s ezért második koordinátája kb egyenletéből adódóan:
y=b2-b4a2=ba2-b2a.
Így az OE egyenes egyenlete
OE:Y=a2-b2bX.

 

 
1. ábra
 

Ha P első koordinátáját p-vel jelöljük (p[0;b2a] tetszőleges), akkor második koordinátája OE egyenletéből számolható: y=pa2-b2b. Ezért a P-ben OE-re állított RQ merőleges egyenlete
RQ:Y-pa2-b2b=-ba2-b2(X-p).
A T pont második koordinátája 0, ezért az előző egyenletből adódóan első koordinátája x=pa2b2. Ez megegyezik az Si pontok első koordinátájával is. Mivel a PQ szakasz hossza Pitagorasz tételéből:
PQ=OQ2-OP2=b2-(p2+p2(a2-b2)b2)=b2-p2a2b2,
azért az Si pontok koordinátái:
S1:(pa2b2;b2-p2a2b2)ésS2:(pa2b2;-b2-p2a2b2).

Egyszerű számolással adódik, hogy
(pa2b2)2a2+(b2-p2a2b2)b2=1,
tehát az Si pontok rajta vannak azon az E ellipszisen, amelynek tengelyei illeszkednek a koordinátarendszer tengelyeire, nagytengelyének hossza 2a, kistengelyének hossza pedig 2b.
Megmutatjuk, hogy a keresett mértani hely E-nek azon fele, melyhez tartozó pontok első koordinátája nemnegatív. Mivel p a [0;b2a] intervallumban tetszőleges értéket felvehet, azért az Si pontok első koordinátája 0 és (b2a)(a2b2)=a közt minden értéket felvesz. A fél ellipszis tetszőleges pontja előáll tehát valamely P-hez tartozó Si pontként.
 
II. megoldás. Koordináták használata nélkül is megoldható a feladat. Legyen Ci az a pont, amelyre az OTSiCi négyszög téglalap, Di pedig a CiSi félegyenes és kb metszéspontja (2. ábra).
 

 
2. ábra
 

Az OPQ és az OCiDi háromszögek egybevágóak, mert mindkettő derékszögű és ODi=OQ (=b) valamint OCi=PQ (=SiT). Ezért OP=CiDi. Mivel PT és EA párhuzamosak, azért a párhuzamos szelők tétele szerint OA:OE=OT:OP. Felhasználva az előbb belátott egyenlőségeket, aránypárunkat átírhatjuk
ab=CiSiCiDi
alakba. Ez azt jelenti, hogy az Si pont előáll úgy, mint a Di pont képe annál a φ merőleges tengelyes affinitásnál, amelynek tengelye OCi, aránya pedig ab.
Mivel az OCi egyenes az OA-ra O-ban állított merőleges, azért helyzete nem függ Ci-től. Az Si pontok mértani helye tehát megegyezik a Di pontok mértani helyének φ-nél származó képével. A Di-k mértani helye a kb körnek az a fele, amelyik az OCi egyenes által meghatározott zárt félsíkok közül az A-t tartalmazóba esik. Mivel egy kör képe merőleges tengelyes affinitásnál ellipszis, azért kb képe φ-nél az az E ellipszis, melynek tengelyei illeszkednek az OA, illetve az OCi egyenesekre, nagytengelyének hossza 2a, kistengelyének hossza pedig 2b.
A keresett mértani hely E-nek az a fele, amelyik az OCi egyenes által meghatározott félsíkok közül az A-t tartalmazó zárt félsíkba esik.