Feladat: C.764 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Peregi Tamás 
Füzet: 2005/január, 27. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logaritmusos egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/április: C.764

Adott az s valós szám. Oldjuk meg az
log1slogsx>logslogsx(1)
egyenlőtlenséget.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A logaritmus definíciójából következik, hogy s>0, s1, valamint x>0 és logsx>0. Térjünk át (1) bal oldalán is s alapú logaritmusra:

log1slogsx=logslogsxlogs1s=-logslogsx.
Azaz az (1) egyenlőtlenséget a következő alakban írhatjuk:
-logslogsx>logslogsx.
Innen logslogsx<0. Ha s>1, a logaritmus függvény szigorúan monoton nő, az logsx az 1 helyen 0, és az s helyen 1, logslogsx<0 akkor teljesül, ha x<s és x>1.
Ha s<1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken és logslogsx<0 akkor áll fenn, ha x<s és x>0. Az egyenlőtlenség megoldásai: s>1 esetén 1<x<s; 0<s<1 esetén 0<x<s.