Kezdőlap


Feladat:	C.730	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kulcsár Dániel
Füzet:	2004/április, 219 - 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Természetes számok, Egészrész, törtrész függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: C.730

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $x$ egész számot egyértelműen felírhatjuk a következő alakban:

\begin{matrix} x = 11 k + m, \end{matrix}

ahol

k

egész és

0 \leq m \leq 10

egész. Ezt helyettesítve az egyenlet két oldalán álló kifejezésekbe

\begin{matrix} [\frac{x}{10}] = [\frac{11 k + m}{10}] = [k + \frac{k + m}{10}] = k + [\frac{k + m}{10}], \end{matrix}

és

m \leq 10

miatt

[\frac{m}{11}] = 0

, ezért

\begin{matrix} [\frac{x}{11}] + 1 = [\frac{11 k + m}{11}] + 1 = k + [\frac{m}{11}] + 1 = k + 1. \end{matrix}

Ezeket az egyenletbe beírva kapjuk, hogy

\begin{matrix} k + [\frac{k + m}{10}] = k + 1, azaz [\frac{k + m}{10}] = 1, \end{matrix}

vagyis

10 \leq k + m \leq 19

. Így

10 - m \leq k \leq 19 - m

és

m = 0,1,2, ...,10

. Innen leolvashatjuk, hogy minden szóba jövő

m

-hez pontosan 10 megfelelő

k

érték van. Összesen tehát

10 \cdot 11 = 110

megoldás van.

Megjegyzés. A megfelelő

(m; k)

párokat ábrázolhatjuk derékszögű koordinátarendszerben is a satírozott tartomány rácspontjaiként.