Feladat: C.730 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kulcsár Dániel 
Füzet: 2004/április, 219 - 220. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Természetes számok, Egészrész, törtrész függvények, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: C.730

Hány megoldása van az [x10]=[x11]+1 egyenletnek az egész számok körében?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az x egész számot egyértelműen felírhatjuk a következő alakban:

x=11k+m,
ahol k egész és 0m10 egész. Ezt helyettesítve az egyenlet két oldalán álló kifejezésekbe
[x10]=[11k+m10]=[k+k+m10]=k+[k+m10],
és m10 miatt [m11]=0, ezért
[x11]+1=[11k+m11]+1=k+[m11]+1=k+1.
Ezeket az egyenletbe beírva kapjuk, hogy
k+[k+m10]=k+1,azaz[k+m10]=1,
vagyis 10k+m19. Így 10-mk19-m és m=0,1,2,...,10. Innen leolvashatjuk, hogy minden szóba jövő m-hez pontosan 10 megfelelő k érték van. Összesen tehát 1011=110 megoldás van.
 
 

Megjegyzés. A megfelelő (m;k) párokat ábrázolhatjuk derékszögű koordinátarendszerben is a satírozott tartomány rácspontjaiként.