Kezdőlap


Feladat:	B.3716	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mészáros Gábor
Füzet:	2005/április, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Irracionális egyenletek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: B.3716

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Adjuk össze a három egyenletet, majd rendezzünk!

\begin{matrix} x^{2} + 7 y + 2 + y^{2} + 7 z + 2 + z^{2} + 7 x + 2 = \\ = 2 z + 4 \sqrt[]{7 x - 3} + 2 x + 4 \sqrt[]{7 y - 3} + 2 y + 4 \sqrt[]{7 z - 3}, \end{matrix}

\begin{matrix} (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 2 y + 1) + (z^{2} - 2 z + 1) + (7 x - 3 - 4 \sqrt[]{7 x - 3} + 4) + \\ + (7 y - 3 - 4 \sqrt[]{7 y - 3} + 4) + (7 z - 3 - 4 \sqrt[]{7 z - 3} + 4) = 0. \end{matrix}

Azaz:

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} + \\ + {(\sqrt[]{7 x - 3} - 2)}^{2} + {(\sqrt[]{7 y - 3} - 2)}^{2} + {(\sqrt[]{7 z - 3} - 2)}^{2} = 0 \end{matrix}

Az egyenlet bal oldalán lévő összeg minden tagja nemnegatív, összegük csak akkor lehet 0, ha minden tag 0.
Eszerint csak az

x = y = z = 1

számhármas adhat megoldást. Behelyettesítve kiderül, hogy ez a számhármas valóban megoldás.
Tehát az egyenletrendszer megoldása

x = y = z = 1