Feladat: B.3716 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Mészáros Gábor 
Füzet: 2005/április, 215. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Irracionális egyenletek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/március: B.3716

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x2+7y+2=2z+47x-3,y2+7z+2=2x+47y-3,z2+7x+2=2y+47z-3.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Adjuk össze a három egyenletet, majd rendezzünk!

x2+7y+2+y2+7z+2+z2+7x+2==2z+47x-3+2x+47y-3+2y+47z-3,



(x2-2x+1)+(y2-2y+1)+(z2-2z+1)+(7x-3-47x-3+4)++(7y-3-47y-3+4)+(7z-3-47z-3+4)=0.


Azaz:
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2++(7x-3-2)2+(7y-3-2)2+(7z-3-2)2=0


Az egyenlet bal oldalán lévő összeg minden tagja nemnegatív, összegük csak akkor lehet 0, ha minden tag 0.
Eszerint csak az x=y=z=1 számhármas adhat megoldást. Behelyettesítve kiderül, hogy ez a számhármas valóban megoldás.
Tehát az egyenletrendszer megoldása x=y=z=1.