Feladat: C.759 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szabó András László 
Füzet: 2005/január, 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Koordináta-geometria, Tengelyes tükrözés, Egyenesek egyenlete, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/március: C.759

Az (x;y) koordinátasík minden P(x;y) pontjához hozzárendeljük a P'(x-y;-y) pontot. Melyek azok az egyenesek, amelyek ezen transzformáció során önmagukba mennek át?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A keresett egyenesek vagy nem változnak a transzformáció során, úgynevezett fix egyenesek; vagy önmagukba mennek át, invariáns egyenesek.
Ha az egyenes nem változik, az azt jelenti, hogy minden pontja azonos a képével. Legyen P(x;y), P'(x-y;-y), ekkor x=x-y, és y=-y. Mindkét egyenlőség azt fejezi ki, hogy y=0. A transzformáció fix egyenese tehát az x tengely.
Ha az egyenes a transzformáció során önmagába megy át, ez azt jelenti, hogy az egyenesnek és képének a meredeksége megegyezik (az nyomban adódik, hogy függőleges egyenesek képe nem függőleges, így invariáns egyenesnek van meredeksége) és mindkettő ugyanabban a pontban metszi az y tengelyt.
Legyen e egyenlete y=mx+b, ekkor e' egyenlete -y=m(x-y)+b. Ez akkor és csak akkor lesz az y=mx+b egyenletű egyenes egyenlete, ha m=2. Tehát minden olyan egyenes invariáns, amelynek a meredeksége 2.