Kezdőlap


Feladat:	C.733	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/március, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: C.733

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A B C$ szabályos háromszögből levágott részháromszögek egybevágók (oldalaik legyenek $p$ és $q$ , egyik szögük $60^{\circ}$ -os), ezért harmadik oldaluk is egyenlő és így a keletkezett $E F G$ háromszög is szabályos. Jelöljük az oldalának a hosszát $x$ -szel.

Írjuk fel a koszinusztételt az

A E G

háromszögben:

\begin{matrix} x^{2} = p^{2} + q^{2} - 2 p q \cdot cos 60^{\circ}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} x^{2} = p^{2} + q^{2} - p q . \end{matrix}

A B C

háromszög területe

\frac{{(p + q)}^{2} \sqrt[]{3}}{4}

, az osztópontok összekötésével kapott háromszög területe ennek

\frac{19}{64}

-ed része, azaz

\begin{matrix} \frac{x^{2} \sqrt[]{3}}{4} = \frac{19}{64} (\frac{{(p + q)}^{2} \sqrt[]{3}}{4}) . \end{matrix}

Egyszerűsítve és az

x^{2}

előbb kapott értékét behelyettesítve:

\begin{matrix} 64 (p^{2} + q^{2} - p q) = 19 {(p + q)}^{2} . \end{matrix}

Elvégezve a műveleteket kapjuk, hogy

\begin{matrix} 45 p^{2} - 102 p q + 45 q^{2} = 0. \end{matrix}

Osszunk

3 q^{2} \neq 0

-val, és vezessük be a

\frac{p}{q} = u

új változót; a következő másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} 15 u^{2} - 34 u + 15 = 0. \end{matrix}

Innen

u = \frac{p}{q} = \frac{5}{3}

, illetve

\frac{p}{q} = \frac{3}{5}

a keresett arány értéke attól függően, hogy milyen körüljárás szerint jelöljük ki a beírt háromszög csúcsait.

II. megoldás. A háromszög területe (a szokásos jelölésekkel)

\frac{a b \cdot sin γ}{2}

. Esetünkben a ,,levágott''

A E G

B F E

C G F

háromszögek területe az eredeti háromszög területének

\frac{p}{p + q} \cdot \frac{q}{p + q}

-ad része, ezért

1 - \frac{19}{64} = \frac{45}{64} = 3 \frac{p q}{{(p + q)}^{2}}

, ahonnan az I. megoldás

15 p^{2} - 34 p q + 15 q^{2} = 0

egyenletét kapjuk. Látható, hogy a

p : q

arányra ugyanazt az eredményt kapjuk akkor is, ha az

A B C

háromszög nem szabályos.