Feladat: C.733 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2004/március, 141 - 142. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög területe, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: C.733

Egy szabályos háromszög oldalait (azonos körüljárás szerint) felosztottuk p:q arányban. Az osztópontok összekötésével kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének 1964-ed része. Mekkora a p:q arány?
() Javasolta: Koncz Levente, Budapest
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az ABC szabályos háromszögből levágott részháromszögek egybevágók (oldalaik legyenek p és q, egyik szögük 60-os), ezért harmadik oldaluk is egyenlő és így a keletkezett EFG háromszög is szabályos. Jelöljük az oldalának a hosszát x-szel.

 
 

Írjuk fel a koszinusztételt az AEG háromszögben:
x2=p2+q2-2pqcos60,
innen
x2=p2+q2-pq.

Az ABC háromszög területe (p+q)234, az osztópontok összekötésével kapott háromszög területe ennek 1964-ed része, azaz
x234=1964((p+q)234).
Egyszerűsítve és az x2 előbb kapott értékét behelyettesítve:
64(p2+q2-pq)=19(p+q)2.
Elvégezve a műveleteket kapjuk, hogy
45p2-102pq+45q2=0.
Osszunk 3q20-val, és vezessük be a pq=u új változót; a következő másodfokú egyenlethez jutunk:
15u2-34u+15=0.
Innen u=pq=53, illetve pq=35 a keresett arány értéke attól függően, hogy milyen körüljárás szerint jelöljük ki a beírt háromszög csúcsait.
 
II. megoldás. A háromszög területe (a szokásos jelölésekkel) absinγ2. Esetünkben a ,,levágott'' AEG, BFE, CGF háromszögek területe az eredeti háromszög területének pp+qqp+q-ad része, ezért 1-1964=4564=3pq(p+q)2, ahonnan az I. megoldás 15p2-34pq+15q2=0 egyenletét kapjuk. Látható, hogy a p:q arányra ugyanazt az eredményt kapjuk akkor is, ha az ABC háromszög nem szabályos.