Feladat: C.750 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Peregi Tamás 
Füzet: 2005/február, 81 - 82. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/február: C.750

Egy vonat a menetrend szerint indul ki az állomásról. 8 kilométer megtétele után a mozdonyvezető az órájára néz és látja, hogy az óra- és a percmutató pontosan fedi egymást. Az első 8 kilométeren a vonat 33 kilométeres óránkénti átlagsebességgel haladt. Mikor indult el a vonat az állomásról?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A kis- és nagymutató először 12 órakor fedi egymást. (Elegendő 12 óra időtartamot vizsgálni.) A következő találkozásig eltelt időt jelölje t (perc). A nagymutató 60 perc alatt 360-ot fordul el, vagyis 1 perc alatt 6 fokot. A kismutató 60 perc alatt 30-ot fordul, azaz 1 perc alatt 0,5 fokot.
A két mutató akkor kerül újra fedésbe, ha a szögelfordulások különbsége 360 többszöröse, vagyis

6t-0,5t=5,5t=k360,k=1,2,3,....
Innen:
t=k3605,5=k65511(perc).(1)
A vonat 33 km/óra sebességgel 8 km utat tett meg; az indulástól eltelt idő:
t'=48033=14611(perc).
Ha a mozdonyvezető épp délben nézett az órájára, akkor a vonat
12 óra 00 perc-14611  perc=11  óra  45511
perckor indult.
Az óramutatók legközelebb 65511 perc múlva fedik egymást, ebben az esetben a vonatnak
11 óra  45511  perc+65511  perc=12  óra  501011
perckor kellett indulnia stb.
Ha az (1) képletből k=2,3,...-nak megfelelő értékeket kiszámítjuk ‐ és feltételezzük, hogy csak egész perckor indítják a vonatokat ‐, két megfelelő értéket kapunk és ezek: 22 óra 40 perc, illetve 10 óra 40 perc.