Kezdőlap


Feladat:	B.3693	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bogya Norbert
Füzet:	2005/március, 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímszámok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: B.3693

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Írjuk fel a maradékos osztásokat:

\begin{matrix} k & = x \cdot p + 6, & (1) \\ 1000 - k & = y \cdot p + 6, & (2) \\ 10 000 - k & = z \cdot p, & (3) \end{matrix}

ahol

x

y

z

nemnegatív egész számok. Az első két egyenlet különbségét vonjuk ki a harmadik egyenlet kétszereséből:

\begin{matrix} (20 000 - 2 k) - (1000 - 2 k) & = 2 z p - (y p + 6 - x p - 6), \\ 19 000 & = 2 z p + (x - y) p, \\ 19 000 & = (x - y + 2 z) p, \end{matrix}

vagyis

p ∣ 19 000

. De

19 000 = 2^{3} \cdot 5^{3} \cdot 19

és mivel a

p

-vel való osztás maradékaként föllépett a 6, így ez a prím annál csak nagyobb lehet, vagyis az egyetlen lehetséges prím a

p = 19

. Ha például

k = 500

, akkor valamennyi feltétel teljesül, így

p = 19