Kezdőlap


Feladat:	C.749	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mezei Bálint
Füzet:	2005/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Kocka, Tetraéderek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: C.749

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $D H$ él harmadolópontjait jelölje $M$ és $N$ (az ábra szerint), a $B F$ él harmadolópontjai $P$ és $Q$ . A $K M$ szakasz párhuzamos az $F G$ -vel, $K F$ pedig párhuzamos $M G$ -vel.

K F G M

paralelogrammát tartalmazza a

K F G

sík, mivel

K F

és

F G

a sík két metsző egyenese. Ez a sík egy hasábot metsz ki a kockából. A hasáb alapja az

E K F

derékszögű háromszög, magassága

E H

, a hasáb térfogata:

V_{h} = \frac{6 \cdot 4}{2} \cdot 6 = 72

térfogategység.
A

G Q

és

H L

, valamint

L Q

és

G H

párhuzamossága miatt

G H L Q

paralelogramma. A

K E F P

téglalap középvonala

L Q

, átlója

K F

, metszéspontjuk,

R

egyben a szakaszok felezőpontja is. A kockából levágtuk még az

R Q F

háromszög alapú és

F G

magasságú gúlát. A gúla térfogata:

V_{g} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2} \cdot 6 = 6

térfogategység.

B

csúcsot tartalmazó rész térfogatát megkapjuk, ha a kocka térfogatából kivonjuk a hasáb és a gúla térfogatát:

\begin{matrix} V = V_{k} - (V_{h} + V_{g}) = 216 - 78 = 138 \end{matrix}

térfogategység.