Feladat: C.749 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Mezei Bálint 
Füzet: 2005/január, 23 - 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térfogat, Kocka, Tetraéderek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: C.749

Az ábrán látható 6 egység élű kocka AE élének harmadolópontjai K és L. A kockát az LHG és a KFG síkokkal részekre osztjuk. Mekkora a B csúcsot tartalmazó rész térfogata?
 

 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A DH él harmadolópontjait jelölje M és N (az ábra szerint), a BF él harmadolópontjai P és Q. A KM szakasz párhuzamos az FG-vel, KF pedig párhuzamos MG-vel.

 
 

A KFGM paralelogrammát tartalmazza a KFG sík, mivel KF és FG a sík két metsző egyenese. Ez a sík egy hasábot metsz ki a kockából. A hasáb alapja az EKF derékszögű háromszög, magassága EH, a hasáb térfogata: Vh=6426=72 térfogategység.
A GQ és HL, valamint LQ és GH párhuzamossága miatt GHLQ paralelogramma. A KEFP téglalap középvonala LQ, átlója KF, metszéspontjuk, R egyben a szakaszok felezőpontja is. A kockából levágtuk még az RQF háromszög alapú és FG magasságú gúlát. A gúla térfogata: Vg=133226=6 térfogategység.
 
 

A B csúcsot tartalmazó rész térfogatát megkapjuk, ha a kocka térfogatából kivonjuk a hasáb és a gúla térfogatát:
V=Vk-(Vh+Vg)=216-78=138
térfogategység.