Kezdőlap


Feladat:	B.3612	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Zsolt
Füzet:	2004/április, 223 - 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/február: B.3612

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladatunkban keresett szám nem lehet 4-jegyű vagy annál kisebb, mert egy ilyen számból a számjegyeinek felcserélgetésével legfeljebb 24 különböző számhoz juthatunk, amelyek mindegyike kisebb $10 000$ -nél. Így e számok összege kisebb $240 000$ -nél. Vizsgáljuk tehát az ötjegyű számokat.
Ha a keresett számban valamelyik számjegy legalább 3-szor fordul elő, akkor a számjegyek permutációival nyerhető számok száma legfeljebb 20 és ezek mindegyike kisebb $100 000$ -nél. Így e számok összege kisebb $2 000 000$ -nál. Tehát ez sem lehetséges.
Az sem fordulhat elő, hogy két számjegy is pontosan 2-szer szerepeljen, mert egy ilyen számból kiindulva 30 különböző számot kapunk, melyek összege kisebb $30 \cdot 100 000 = 3 000 000$ -nál.
Tehát ha van olyan 5-jegyű szám, ami megfelel a feltételeknek, akkor vagy minden jegye különböző, vagy pontosan két számjegye egyezik meg.
Nézzük először azt az esetet, amelyben minden számjegy különböző. A szám $\bar{a b c d e}$ alakú (ahol $a$ , $b$ , $c$ , $d$ és $e$ csupa különböző számjegyet jelöl). Ekkor a számjegyek permutálásával kapott számokban minden egyes számjegy minden helyiértéken 24-szer fordul elő. Így a kapott számok összege:

\begin{matrix} 24 \cdot 11 111 \cdot a + 24 \cdot 11 111 \cdot b + 24 \cdot 11 111 \cdot c + 24 \cdot 11 111 \cdot d + 24 \cdot 11 111 \cdot e = \\ = 24 \cdot 11 111 \cdot (a + b + c + d + e) = 4 933 284, \end{matrix}

ahonnan

2 \cdot (a + b + c + d + e) = 37

következik. Ez nyilván nem lehetséges, hiszen a bal oldalon páros szám áll, a jobb oldalon pedig páratlan.
Végül nézzük, van-e olyan ötjegyű szám, amelynek pontosan két jegye egyezik meg és megfelel a feltételeknek. Az ilyen szám jegyeiből készített permutációk között van pl.

\bar{a a b c d}

alakú, ahol

a

b

c

és

d

különböző számjegyeket jelölnek. Ha az egyik

a

számjegyet rögzítjük valamelyik helyiértéken, akkor a többi számjegy minden lehetséges permutálásával 24 számot kapunk, azaz az

a

számjegy minden helyiértéken 24-szer fordul elő. Ha pedig bármelyik másik számjegyet rögzítjük valamely helyiértéken, akkor a többi jegynek 12 különböző permutációja létezik, vagyis minden

a

-tól különböző jegy 12-szer fordul elő minden egyes helyiértéken.
Így az

\bar{a a b c d}

alakú szám számjegyeinek permutációival nyerhető számok összege:

24 \cdot 11 111 \cdot a + 12 \cdot 11 111 \cdot b + 12 \cdot 11 111 \cdot c + 12 \cdot 11 111 \cdot d = 4 933 284.

Vagyis

2 a + b + c + d = 37

. Akkor kaphatjuk meg az e feltételnek megfelelő legkisebb ötjegyű számot, ha az első helyiértékre a lehető legkisebb számjegyet választjuk. Ez pedig úgy lehetséges, ha a többi helyiértékre a lehető legnagyobbakat; eszerint a lehető legnagyobbak:

2 \cdot 9 + 8 + 7 = 33

, így az első helyiértéken 4-esnek kell állnia.
Található tehát az ötjegyű számok között olyan, amely kielégíti a feltételeket (a kisebb számok között pedig nem), így a legkisebb ilyen ötjegyű szám egyben a keresett legkisebb szám:

47 899