Feladat: B.3717 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Filus Tamás 
Füzet: 2004/december, 543 - 544. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Hossz, kerület, Terület, felszín, Téglalapok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/március: B.3717

Adjuk meg azt a legkisebb kerületű egységnyi területű H téglalapot, amelyhez létezik olyan H1 téglalap, amelynek a kerülete 50%-kal kisebb, mint a H kerülete, területe pedig 50%-kal nagyobb, mint a H területe.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A H téglalap oldalait jelöljük a, b-vel, a H1 téglalapét pedig c, d-vel. Tudjuk, hogy TH=ab=1, KH=2(a+b), TH1=cd=1,5 (50%-kal nagyobb, mint H területe) és KH1=2(c+d)=a+b (50%-kal kisebb, mint H kerülete). KH=2(a+b)=4(c+d) minimumát keressük ezen feltételek mellett. Az a, b, c, d értékek szakaszok hosszai, ezért mind pozitívak. Így oszthatunk d-vel: c=1,5d, és ezt a korábbi összefüggésekkel egybevetve KH=4(c+d)=6d+4d adódik. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség segítségével becsülhetjük KH-t, ugyanis tudjuk, hogy

6d+4d26d4d,azaz6d+4d46,
és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha 6d=4d teljesül. Tehát H kerülete legalább 46. Belátjuk, hogy ez a becslés éles, azaz létezik olyan H téglalap, melynek ennyi a kerülete és a többi feltételnek is megfelel.
Láttuk, hogy csak akkor lehet egyenlőség, ha 6d=4d, azaz 4d2=6. Mivel d pozitív, azért d=62, ebből pedig c=1,5d=62. A H1 téglalap tehát négyzet, oldala 62.
 
 

H oldalai, a és b egymás reciprokai. Ha a H kerülete 46, azaz 2(1b+b)=46, akkor 2(1+b2)=46b, ahonnan rendezés után a 2b2-46b+2=0 másodfokú egyenlet adódik, melynek gyökei:
b1,2=46±96-164=6±5.
A gyökök szorzata az ismert azonosság alapján 6-5=1, vagyis a két gyök ugyanazt a téglalapot határozza meg. A feltételeknek megfelelő minimális kerületű H téglalap oldalai tehát 6+5 és 6-5.
 
Megjegyzés. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség közvetlen felhasználása helyett néhányan egy ismert eredményre hivatkoztak: az egyik téglalap kerülete a másik fele, így a kerületük ugyanakkor lesz minimális. Ezzel a feladatot arra vezethetjük vissza, hogy adott területű téglalapok közül melyiknek minimális a kerülete. Ez a négyzet (a fenti megoldásból is kiderül, hogy a H1 téglalap négyzet), mint az a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségből bizonyítható. Mások például egy-egy másodfokú egyenlet diszkriminánsának vizsgálatával jutottak a helyes eredményhez.