Feladat: 3687. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Birkner Tamás ,  Horváth Márton ,  Károlyi Márton ,  Kómár Péter ,  Mezei Márk ,  Paulin Dániel ,  Sótér Anna ,  Strenner Balázs ,  Szabó Áron 
Füzet: 2004/szeptember, 374 - 377. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hajítások, Bernoulli-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/február: 3687. fizika feladat

Egy α hajlásszögű lejtő tetején egy víztartályban H magasságban áll a víz. A tartály oldalában, az aljától mért h magasságban kis lyuk van, ahol vízszintesen lövell ki a vízsugár. Mekkora h érték esetén csapódik be a lejtőn a tartály aljától mérve a legmesszebb a vízsugár, és mekkora ez a távolság?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a tartály aljától a vízsugár becsapódási pontjába mutató vektor vízszintes komponense x, a függőleges komponense y, a vektor hossza pedig d (lásd az ábrát)!

 
 

A víz (a Torricelli-féle kiáramlási törvény szerint)
v=2g(H-h)
nagyságú vízszintes kezdősebességgel hagyja el a tartályt, és a víznek egy-egy ,,darabkája'' a függőleges mozgásából számíthatóan
t=2(h+y)g
idő alatt éri el a lejtőt. Ezalatt a vízszintes elmozdulása
x=vt=2(H-h)(h+y).
Mivel a lejtő hajlásszöge α, fennáll y=xtgα. Ezt a fenti összefüggésbe helyettesítve, majd négyzetre emelve x-re a következő másodfokú egyenletet kapjuk:
x2-4(H-h)(h+xtgα)=0.(1)
Ennek az egyenletnek mindig van 2 valós megoldása, melyekből a számunkra érdekes pozitív gyök x=2(H-h)tgα+2(H-h)2tg2α+(H-h)h. Célszerű bevezetni az ábrán is látható z=H-h jelölést, ezzel
x=2ztgα+2z2tg2α+z(H-z).
Ennek az x(z) kifejezésnek keressük (a 0zH intervallumon) a maximumát. Mivel x(0)=0 és 0<z<H esetén x>0, az x(z) függvénynek vagy ott van maximuma, ahol a z szerinti deriváltja nulla, vagy pedig a z=H helyen.
A derivált eltűnéséből
x'(z)=2tgα+2ztg2α+H-2zz2tg2α+z(H-z)=0,
azaz
2tgαz2tg2α+z(H-z)=2z(1-tg2α)-H.(2)
Mivel a bal oldal nemnegatív, a jobb oldal első tagja pozitív kell legyen. Ez akkor teljesül, ha tgα<1, azaz α<45. Másrészt (2) jobb oldala nemnegatív, vagyis
zH2(1-tg2α).(3)
A (2) egyenlet, amely négyzetre emelés után z-re nézve másodfokú, algebrai átalakítások után 4(tg2α-1)z2+4Hz-H2=0 alakra hozható. A diszkrimináns
D=16H2+44(tg2α-1)H2=(4Htgα)2,
(2) megoldásai tehát
z1,2=HHtgα2(1-tg2α).(4)
Figyelembe véve a (3) egyenlőtlenséget, (4) jobb oldalán a pozitív előjelet kell választanunk:
z=H+Htgα2(1-tg2α)=H211-tgα.
Ennek az értéke nem lehet nagyobb H-nál:
H211-tgαH,ahonnantgα12,α26,6
következik. Ha ez nem teljesül, akkor az adott intervallumban x(z)-nek nem lehet nulla a deriváltja, így x(z) a maximumát z=H-nál, vagyis h=0-nál veszi fel.
A vízsugár tehát α26,6-nak megfelelő lejtőn
h=H-z=H-H211-tgα=1-2tgα2-2tgαH
érték esetén csapódik be legmesszebb, és a becsapódás távolsága
d=xcosα=Hcosα-sinα.
Ha viszont α26,6, akkor az edény legalján kilövellő víz csapódik be legmesszebb, nevezetesen
d=4Hsinαcos2α
távolságra a tartály aljától.
 

Megjegyzések. 1. α=0 szögnél az eredmény megegyezik a vízszintes talajon álló tartály egyszerűbb esetével: h=H/2 és d=h (lásd a P. 3673. feladat megoldását lapunk 373. oldalán).
2. A legnagyobb becsapódási távolságot elemi matematikával (differenciálszámítás nélkül) is meg lehet határozni. Tekintsük az (1) egyenletet, és határozzuk meg adott becsapódási távolság (vagyis adott x) mellett azt a h értéket (vagy értékeket), amely éppen ehhez az x-hez tartozik. Az (1) egyenlet h-ra nézve (is) másodfokú:
h2+h(xtgα-H)+(x24-Hxtgα)=0,
amelynek akkor van (valós) megoldása, ha a diszkriminánsa nemnegatív:
(xtgα-H)2-x2+4Hxtgα=[x(tgα+1)+H][x(tgα-1)+H]0.
A bal oldali szögletes zárójelben álló kifejezés nem negatív, tehát a másik szögletes zárójelben álló kifejezés sem lehet negatív, így x-re az
xH1-tgα
egyenlőtlenség adódik; ez éppen a fenti megoldásban megkapott d értéknek felel meg. A megfelelő kiömlési magasság:
h=1-2tgα2-2tgαH.
Mivel ez nem lehet negatív, tgα>1/2 esetén nem a fenti kifejezésnek, hanem h=0-nak megfelelő x=4Htgα adja meg a legnagyobb becsapódási távolság vízszintes vetületét.