Kezdőlap


Feladat:	3673. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dani Tímea
Füzet:	2004/szeptember, 373 - 374. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékok és gázok áramlása, Kinematika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: 3673. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a lyukon bizonyos mennyiségű ( $m$ tömegű) víz folyik ki, akkor az egész víztömeg helyzeti energiája $m g (H - h)$ értékkel lecsökken, a mozgási energiája pedig $\frac{1}{2} m v^{2}$ -tel megnő. Az energiamegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = m g (H - h), \end{matrix}

azaz a kiáramló víz kezdősebessége

v = \sqrt[]{2 g (H - h)}

.
A vízsugár egyes részeinek további mozgása a tömegpontok vízszintes hajításával egyezik meg. A függőleges mozgás

\begin{matrix} h = \frac{g}{2} t^{2} \end{matrix}

képletéből a mozgás ideje

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}}, \end{matrix}

a vízszintesen megtett út pedig

\begin{matrix} s = v t = \sqrt[]{2 g (H - h) \cdot \frac{2 h}{g}} = 2 \sqrt[]{(H - h) \cdot h} . \end{matrix}

(H - h) \cdot h

kifejezés akkor a legnagyobb, amikor

H - h = h

. (Ezt pl. a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenségből, vagy a kifejezést ábrázoló grafikon (parabola) tulajdonságaiból olvashatjuk le.) A szélsőértéknél, vagyis

h = \frac{H}{2}

lyukmagasságnál a vízsugár becsapódásának vízszintes távolsága

s_{{max}_{}^{}} = H

Megjegyzés. A megoldás során hallgatólagosan feltételeztük, hogy a lyuk mérete sokkal kisebb, mint a tartály keresztmetszete. Emiatt a tartályban a víz sokkal lassabban mozog, mint amekkora a lyukon kiáramló víz sebessége, és a mozgási energia számításánál a tartályban levő vízzel nem kell foglalkoznunk. Azt is feltételeztük továbbá, hogy a lyuk mérete nem annyira kicsi, hogy a súrlódási veszteségeket figyelembe kellene vennünk.
A kiáramlási sebességet megadó összefüggés az ideális folyadék áramlásának energiaviszonyait leíró Bernoulli-törvény speciális esete. A valóságban még az ideális (súrlódásmentes) folyadék kiáramlási sebessége is kicsit eltér a Bernoulli-törvényből számítható értéktől. Ezt a tényt (melynek hátterében a kiáramlás nem teljesen párhuzamos jellege, a vízsugár ,,összeszűkülése'' áll) a nyílás alakjától függő korrekciós tényezővel lehet figyelembe venni.