Feladat: 3673. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dani Tímea 
Füzet: 2004/szeptember, 373 - 374. oldal  PDF file
Témakör(ök): Folyadékok és gázok áramlása, Kinematika, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: 3673. fizika feladat

Egy víztartályban H magasságban áll a víz. A tartály oldalában az aljától mért h magasságban kis lyuk van, ahol vízszintesen lövell ki a vízsugár. Mekkora h érték esetén csapódik be a vízszintes talajon legmesszebb a vízsugár, és mekkora ez a távolság?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a lyukon bizonyos mennyiségű (m tömegű) víz folyik ki, akkor az egész víztömeg helyzeti energiája mg(H-h) értékkel lecsökken, a mozgási energiája pedig 12mv2-tel megnő. Az energiamegmaradás törvénye szerint

12mv2=mg(H-h),
azaz a kiáramló víz kezdősebessége v=2g(H-h).
A vízsugár egyes részeinek további mozgása a tömegpontok vízszintes hajításával egyezik meg. A függőleges mozgás
h=g2t2
képletéből a mozgás ideje
t=2hg,
a vízszintesen megtett út pedig
s=vt=2g(H-h)2hg=2(H-h)h.
A (H-h)h kifejezés akkor a legnagyobb, amikor H-h=h. (Ezt pl. a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenségből, vagy a kifejezést ábrázoló grafikon (parabola) tulajdonságaiból olvashatjuk le.) A szélsőértéknél, vagyis h=H2 lyukmagasságnál a vízsugár becsapódásának vízszintes távolsága smax=H.
 
Megjegyzés. A megoldás során hallgatólagosan feltételeztük, hogy a lyuk mérete sokkal kisebb, mint a tartály keresztmetszete. Emiatt a tartályban a víz sokkal lassabban mozog, mint amekkora a lyukon kiáramló víz sebessége, és a mozgási energia számításánál a tartályban levő vízzel nem kell foglalkoznunk. Azt is feltételeztük továbbá, hogy a lyuk mérete nem annyira kicsi, hogy a súrlódási veszteségeket figyelembe kellene vennünk.
A kiáramlási sebességet megadó összefüggés az ideális folyadék áramlásának energiaviszonyait leíró Bernoulli-törvény speciális esete. A valóságban még az ideális (súrlódásmentes) folyadék kiáramlási sebessége is kicsit eltér a Bernoulli-törvényből számítható értéktől. Ezt a tényt (melynek hátterében a kiáramlás nem teljesen párhuzamos jellege, a vízsugár ,,összeszűkülése'' áll) a nyílás alakjától függő korrekciós tényezővel lehet figyelembe venni.