Kezdőlap


Feladat:	B.3697	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Estélyi István , Számadó Péter
Füzet:	2004/szeptember, 349. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: B.3697

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Közös nevezőre hozunk és a számlálót alakítjuk:

\begin{matrix} \frac{x^{4} - 10 x^{2} (x - 5)}{{(x - 5)}^{2}} = 11. \end{matrix}

Ezt az egyenletet a következő alakban is írhatjuk:

\begin{matrix} {(\frac{x^{2}}{x - 5})}^{2} - 10 \cdot \frac{x^{2}}{x - 5} - 11 = 0. \end{matrix}

Alkalmazzuk az

y = \frac{x^{2}}{x - 5}

helyettesítést:

y^{2} - 10 y - 11 = 0

, ennek gyökei:

y_{1} = 11

és

y_{2} = - 1

.
1. eset:

\frac{x^{2}}{x - 5} = 11

, amiből

x^{2} - 11 x + 55 = 0

; ennek a másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke, mivel a diszkriminánsa negatív.
2. eset:

\frac{x^{2}}{x - 5} = - 1

, amiből

x^{2} + x - 5 = 0

. Ekkor

x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{21}}{2}

.
Ezek a számok az eredeti egyenletnek is gyökei, mert átalakításaink ekvivalensek.

II. megoldás. Az értelmezési tartomány (a nevező miatt):

x \neq 5

. Az

{(x - 5)}^{2}

-nel való beszorzás és rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{4} - 10 x^{3} + 39 x^{2} + 110 x - 275 = 0. \end{matrix}

Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés szorzattá bontható:

\begin{matrix} (x^{2} + x - 5) (x^{2} - 11 x + 55) = 0. \end{matrix}

A bal oldalon kéttényezős szorzat áll. Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, ezért két esetet vizsgálunk.
1. eset: Ha

x^{2} + x - 5 = 0

, akkor

x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{21}}{2}

.
2. eset: Ha

x^{2} - 11 x + 55 = 0

, akkor a diszkrimináns:

D = 121 - 220 < 0

. Ennek az egyenletnek nincs valós megoldása.
Tehát az eredeti egyenlet megoldásai:

x_{1} = \frac{- 1 + \sqrt[]{21}}{2}

x_{2} = \frac{- 1 - \sqrt[]{21}}{2}