Feladat: B.3697 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Estélyi István ,  Számadó Péter 
Füzet: 2004/szeptember, 349. oldal  PDF file
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: B.3697

Oldjuk meg a következő egyenletet: x2+(5xx-5)2=11.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Közös nevezőre hozunk és a számlálót alakítjuk:

x4-10x2(x-5)(x-5)2=11.
Ezt az egyenletet a következő alakban is írhatjuk:
(x2x-5)2-10x2x-5-11=0.
Alkalmazzuk az y=x2x-5 helyettesítést: y2-10y-11=0, ennek gyökei: y1=11 és y2=-1.
1. eset: x2x-5=11, amiből x2-11x+55=0; ennek a másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke, mivel a diszkriminánsa negatív.
2. eset: x2x-5=-1, amiből x2+x-5=0. Ekkor x1,2=-1±212.
Ezek a számok az eredeti egyenletnek is gyökei, mert átalakításaink ekvivalensek.
 
II. megoldás. Az értelmezési tartomány (a nevező miatt): x5. Az (x-5)2-nel való beszorzás és rendezés után kapjuk, hogy
x4-10x3+39x2+110x-275=0.
Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés szorzattá bontható:
(x2+x-5)(x2-11x+55)=0.
A bal oldalon kéttényezős szorzat áll. Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, ezért két esetet vizsgálunk.
1. eset: Ha x2+x-5=0, akkor x1,2=-1±212.
2. eset: Ha x2-11x+55=0, akkor a diszkrimináns: D=121-220<0. Ennek az egyenletnek nincs valós megoldása.
Tehát az eredeti egyenlet megoldásai: x1=-1+212, x2=-1-212.