Kezdőlap


Feladat:	B.3695	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filus Tamás , Kirilly György
Füzet:	2004/szeptember, 347 - 348. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Teljes indukció módszere, Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: B.3695

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Bizonyítsuk az állítást $n$ -re vonatkozó teljes indukcióval.
Az $n = 1$ esetén $5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1 = 5 - 8 + 4 - 1 = 0$ és $64 ∣ 0$ . Az állítás igaz.
Tegyük fel, hogy valamilyen $n$ természetes számra teljesül az állítás. A kifejezés értéke $(n + 1)$ -re:

\begin{matrix} 5^{n + 1} - 8 {(n + 1)}^{2} + 4 (n + 1) - 1 = 5 \cdot 5^{n} - 8 (n^{2} + 2 n + 1) + 4 n + 4 - 1 = \\ = & 5 \cdot 5^{n} - 8 n^{2} - 16 n - 8 + 4 n + 4 - 1 = 5 \cdot 5^{n} - 8 n^{2} - 12 n - 5 = \\ = & 5 \cdot (5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1) + 32 n^{2} - 32 n = 5 \cdot (5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1) + 32 n (n - 1) . \end{matrix}

5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1

az indukciós feltevés szerint osztható 64-gyel, ezért ennek ötszöröse is osztható 64-gyel. A

32 n (n - 1)

is osztható 64-gyel, hiszen két egymást követő természetes szám (

n - 1

és

n

) valamelyike biztosan páros, így a 32-szerese osztható 64-gyel. Ha két 64-gyel osztható számot összeadunk, akkor az összegük is osztható 64-gyel, tehát

(n + 1)

-re is igaz az állítás.
Ezzel minden

n

pozitív egészre beláttuk, hogy

5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1

osztható 64-gyel.

II. megoldás. Ha

n = 1

, akkor az első megoldás behelyettesítése szerint az állítás igaz. Legyen az

n

legalább 2 és az

5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1

kifejezés első tagját írjuk fel úgy, mint két tag összegének hatványát:

{(4 + 1)}^{n}

. A binomiális tétel alapján ekkor

\begin{matrix} 5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1 = 4^{n} + (\binom{n}{1}) \cdot 4^{n - 1} + ... + \\ + (\binom{n}{n - 3}) \cdot 4^{3} + (\binom{n}{n - 2}) \cdot 4^{2} + (\binom{n}{n - 1}) \cdot 4 + 1 - 8 n^{2} + 4 n - 1. \end{matrix}

Mivel az első

n - 2

tag mindegyikében a 4 kitevője legalább 3 és

4^{3} = 64

, ezek a tagok oszthatók 64-gyel. Ezeken kívül pedig

\begin{matrix} (\binom{n}{n - 2}) = (\binom{n}{2}) és (\binom{n}{n - 1}) = (\binom{n}{1}), \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} (\binom{n}{n - 2}) \cdot 4^{2} + (\binom{n}{n - 1}) \cdot 4 + 1 - 8 n^{2} + 4 n - 1 = \\ = (\binom{n}{2}) \cdot 4^{2} + (\binom{n}{1}) \cdot 4 + 1 - 8 n^{2} + 4 n - 1 = \\ = \frac{n (n - 1)}{2} \cdot 16 + 4 n + 1 - 8 n^{2} + 4 n - 1 = 8 n^{2} - 8 n + 4 n + 1 - 8 n^{2} + 4 n - 1 = 0, \end{matrix}

ami szintén osztható 64-gyel. Ez azt jelenti, hogy

5^{n} - 8 n^{2} + 4 n - 1

előáll 64-gyel osztható számok összegeként, ezért osztható 64-gyel.