Feladat: B.3688 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bednay Dezső ,  Birkus Róbert ,  Csörge Péter ,  Czank Tamás ,  Erdélyi Márton ,  Filus Tamás ,  Gehér György ,  Gyenizse Gergő ,  Hubai Tamás ,  Jankó Zsuzsanna ,  Király Csaba ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kiss Orsolya ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kovács Péter ,  Kunovszki Péter ,  Mátyás Péter ,  Mészáros Gábor ,  Meszéna Balázs ,  Molnár András ,  Nagy János ,  Nagy Péter ,  Nagy-Baló András ,  Orosz Görgy ,  Pálinkás Csaba ,  Rácz Miklós ,  Sándor Ágnes Petra ,  Sümegi Károly ,  Szabó Botond ,  Szűcs Gábor ,  Ureczky Bálint ,  Vass Márton 
Füzet: 2004/szeptember, 344 - 345. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/december: B.3688

Keressünk olyan egész számot, amelynek a négyzetgyökében a tizedesvessző után közvetlenül a 414213462 számjegysorozat áll.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a feladatban adott 41421346210-9 törtrészt T. Egy, a feladat feltételeinek megfelelő szám négyzetgyökének egészrészét pedig jelölje A.
A keresett szám négyzetgyökének törtrésze kisebb kell legyen, mint

0,414213463=T+10-9.
Jelöléseinkkel a feladat tehát így fogalmazható meg: keressünk olyan B egész számot, amelyre
A+TB<A+T+10-9.
Azaz négyzetre emelve:
(A+T)2B<(A+T+10-9)2.
Ahhoz, hogy az egyenlőtlenség bal és jobb oldala közrefogjon (legalább) egy egész számot, elegendő, ha a különbségük legalább 1 (persze, ha a különbség egészrésze k, akkor az egyenlőtlenség-rendszernek k darab megoldása van):
(A+T+10-9)2-(A+T)2>1.10-9(2A+2T+10-9)>1,
azaz
210-9A+210-9T+10-18>1.
Válasszuk A-t olyannak, hogy 210-9A éppen 1 legyen: A=5108. (Természetesen minden ennél nagyobb egész szám alkalmas.)
A+T=5108+0,414213462. Az az egész szám, amely (A+T)2-nél még éppen nagyobb, biztosan megfelel: [(A+T)2]+1 (ez (A+T)2 felső egészrésze, jele: (A+T)2) egy lehetséges megoldás:
B=251016+2510841421346210-9+1=251016+414213463.

Sehol nem használtuk fel T valamilyen speciális tulajdonságát, ezért a megoldás általánosítható bármilyen k hosszúságú tetszőleges számjegyekből álló törtrészre:
B=25102k-2+T10k+1.510k-1+TB<510k-1+T+10-k.