Feladat: B.3694 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Nagy Csaba 
Füzet: 2004/október, 413 - 415. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög területe, Síkgeometriai szerkesztések, Konvex négyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: B.3694

Adott az ABCD konvex négyszög. Szerkesszük meg azt a négy, A csúcson átmenő egyenest, amelyek a négyszöget öt egyenlő területű részre osztják.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen P a négyszög BD átlójának tetszőleges belső pontja. Ekkor az APC töröttvonal ugyanolyan arányban osztja az ABCD négyszög területét, amilyen arányban P osztja a BD átlót, hiszen az APB és az APD háromszögek A-hoz tartozó magassága is, és a CPB és a CPD háromszögek C-hoz tartozó magassága is közös, tehát

TAPBTAPD=PBPDésTCPBTCPD=PBPD,
vagyis
TAPCBTAPCD=PBPD.

Ha a P-n átmenő, az AC átlóval párhuzamos egyenes a BCD töröttvonalat a Q pontban metszi (a szimmetria miatt feltehetjük, hogy Q a CD oldalon van), akkor az APC és az AQC háromszögek területe megegyezik, mert AC oldaluk közös, az ehhez tartozó magasságaik pedig egyenlőek PQ és AC párhuzamossága miatt. Ezért TAPCD=TAQD, vagyis
TAPCBTAQD=PBPD.
Ha tehát P a BD átló D-hez legközelebbi ötödölőpontja, akkor az AQ egyenes a négyszög területének ötödét vágja le.
 

 
1. ábra
 

Ezek alapján a szerkesztés menete:
A BD átlót öt egyenlő részre osztjuk (pl. a párhuzamos szelők tételén alapuló szerkesztéssel), az így kapott osztópontok P1, P2, P3 és P4.
A Pi (i=1,2,3,4) pontokon át párhuzamosokat húzunk az AC átlóval, ezeknek és a BCD töröttvonalnak a metszéspontjait Qi-vel jelöljük.
Összekötjük A-t a Qi pontokkal (2. ábra).

 

 
2. ábra
 

Az előzőekben leírtakból következik, hogy az AQi egyenesek öt egyenlő területű részre osztják az ABCD négyszöget. A szerkesztés a négyszög konvexsége miatt mindig elvégezhető, a feladatnak minden esetben pontosan egy megoldása van.