Kezdőlap


Feladat:	B.3669	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benedek János Ferenc , Bereczki Péter , Birkner Tamás , Birkus Róbert , Bitai Tamás , Bodnár József , Bogár Péter , Chlebovics Kornél , Csajbók Bence , Dobos Gábor , Eckert Bernadett , Estélyi István , Farkas Gergő , Gehér György , Gyarmati Ákos , Hegyi Gábor , Holló László , Hubai Tamás , Király András , Kis Gergely , Kiss Gábor , Kiss-Tóth Christián , Kondor Olivér , Kónya Gábor , Kunovszki Péter , Mátyás Péter , Meszéna Balázs , Németh Zsolt , Petényi Franciska , Poronyi Balázs , Rácz Miklós , Stippinger Marcell , Strenner Balázs , Szalóki Dávid , Szilágyi Csaba , Tóthmérész Lilla , Vaskó Richárd
Füzet:	2004/szeptember, 337 - 338. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok, Kúpok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: B.3669

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kúp alapkörének sugara $r$ , magassága $m$ , alkotója $a$ . Ekkor $V = \frac{r^{2} π m}{3} = 1$ , $r^{2} = \frac{3}{m π}$ . Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} a = \sqrt[]{r^{2} + m^{2}} = \sqrt[]{\frac{3}{m π} + m^{2}} . \end{matrix}

A kúp felszíne:

\begin{matrix} A = r^{2} π + r π a = \frac{3}{m π} \cdot π + \sqrt[]{\frac{3}{m π}} \cdot π \cdot \sqrt[]{\frac{3}{m π} + m^{2}} = \frac{3}{m} + π \cdot \sqrt[]{\frac{9}{m^{2} π^{2}} + \frac{3 m}{π}} . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} A - \frac{3}{m} = \sqrt[]{\frac{9}{m^{2}} + 3 m π} . \end{matrix}

Mivel

A \geq \frac{3}{m}

, négyzetre emelhetünk:

\begin{matrix} A^{2} - \frac{6 A}{m} + \frac{9}{m^{2}} = \frac{9}{m^{2}} + 3 m π, A^{2} m - 6 A = 3 m^{2} π, 3 m^{2} π - A^{2} m + 6 A = 0. \end{matrix}

Így

\begin{matrix} m_{1,2} = \frac{A^{2} \pm \sqrt[]{A^{4} - 72 A π}}{6 π} . \end{matrix}

A diszkriminánsnak nemnegatívnak kell lennie, tehát

\begin{matrix} A^{4} - 72 A π \geq 0, azaz A \geq \sqrt[3]{72 π} . \end{matrix}

Tehát a minimális felszín

A = \sqrt[3]{72 π}

.
Ekkor

D = 0

, így

\begin{matrix} m & = \frac{A^{2}}{6 π} = \frac{\sqrt[3]{{(72 π)}^{2}}}{6 π} = \sqrt[3]{\frac{72^{2} \cdot π^{2}}{6^{3} \cdot π^{3}}} = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{π}} . \\ r^{2} & = \frac{3}{m π} = \frac{3}{π \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{π}}} = \sqrt[3]{\frac{3^{3}}{π^{3} \cdot 2^{3} \cdot \frac{3}{π}}} = \sqrt[3]{\frac{9}{2^{3} \cdot π^{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{9}{π^{2}}} . \end{matrix}

Így

r = \frac{1}{\sqrt[]{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{π}}

.
Tehát az egységnyi térfogatú forgáskúpok közül a legkisebb felszínűnek a magassága

2 \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{π}}

, az alapkörének sugara

\frac{1}{\sqrt[]{2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{π}}