Feladat: B.3669 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benedek János Ferenc ,  Bereczki Péter ,  Birkner Tamás ,  Birkus Róbert ,  Bitai Tamás ,  Bodnár József ,  Bogár Péter ,  Chlebovics Kornél ,  Csajbók Bence ,  Dobos Gábor ,  Eckert Bernadett ,  Estélyi István ,  Farkas Gergő ,  Gehér György ,  Gyarmati Ákos ,  Hegyi Gábor ,  Holló László ,  Hubai Tamás ,  Király András ,  Kis Gergely ,  Kiss Gábor ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kondor Olivér ,  Kónya Gábor ,  Kunovszki Péter ,  Mátyás Péter ,  Meszéna Balázs ,  Németh Zsolt ,  Petényi Franciska ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Miklós ,  Stippinger Marcell ,  Strenner Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szilágyi Csaba ,  Tóthmérész Lilla ,  Vaskó Richárd 
Füzet: 2004/szeptember, 337 - 338. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok, Kúpok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: B.3669

Egységnyi térfogatú forgáskúpok közül melyiknek minimális a felszíne?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kúp alapkörének sugara r, magassága m, alkotója a. Ekkor V=r2πm3=1, r2=3mπ. Pitagorasz tétele szerint

a=r2+m2=3mπ+m2.
A kúp felszíne:
A=r2π+rπa=3mππ+3mππ3mπ+m2=3m+π9m2π2+3mπ.
Rendezve:
A-3m=9m2+3mπ.
Mivel A3m, négyzetre emelhetünk:
A2-6Am+9m2=9m2+3mπ,A2m-6A=3m2π,3m2π-A2m+6A=0.
Így
m1,2=A2±A4-72Aπ6π.
A diszkriminánsnak nemnegatívnak kell lennie, tehát
A4-72Aπ0,azazA72π3.
Tehát a minimális felszín A=72π3.
Ekkor D=0, így
m=A26π=(72π)236π=722π263π33=23π3.r2=3mπ=3π23π3=33π3233π3=923π23=129π23.
Így r=123π3.
Tehát az egységnyi térfogatú forgáskúpok közül a legkisebb felszínűnek a magassága 23π3, az alapkörének sugara 123π3.