Feladat:	C.747	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/szeptember, 333. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: C.747

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge $\alpha$. Az $ACD$ egyenlő szárú háromszögben $AC=AD=1$, $CAD\sphericalangle =\alpha$, $CD=x$. Írjuk fel az $ACD$ háromszögben a koszinusztételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ A $BEA$ derékszögű háromszögből: $\text{cos}\alpha =\frac{1}{2b}$. Ezt helyettesítve a koszinusztételbe és elvégezve az egyszerűsítéseket kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\sqrt[]{2-\frac{1}{b}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez akkor értelmes, ha $2>\frac{1}{b}$, azaz $b>\frac{1}{2}$, ami viszont mindig teljesül, mert az $ABC$ háromszög oldalaira fennáll a háromszög-egyenlőtlenség.