Kezdőlap


Feladat:	C.746	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Sóti Réka
Füzet:	2004/szeptember, 333. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/január: C.746

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A hatjegyű számot írjuk fel tízes számrendszerben:

\begin{matrix} \bar{a b a b a b} & = 10^{5} a + 10^{4} b + 10^{3} a + 10^{2} b + 10 a + b = \\ = 10 a (10^{4} + 10^{2} + 1) + b (10^{4} + 10^{2} + 1) = (10 a + b) \cdot 10101 = \\ = (10 a + b) \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 37. \end{matrix}

Mivel

217 = 7 \cdot 31

, azok a számok oszthatók 217-tel, amelyek törzstényezős felbontásában a 7 és 31 szerepel. Ebből következik, hogy a hatjegyű szám akkor lesz osztható 217-tel, ha

10 a + b

osztható 31-gyel.

10 a + b = k \cdot 31 < 100

miatt

k = 1

, 2 vagy 3. Ha

k = 1

a = 3

b = 1

;

k = 2

esetén

a = 6

b = 2

és végül

k = 3

-ra

a = 9

b = 3

. A megfelelő hatjegyű számok: 313131, 626262 és 939393.
A feladat

b)

részére a válasz: nincs ilyen hatjegyű szám, mert 218 nagyobbik törzstényezője, a 109 nem szerepel a hatjegyű szám felbontásában, hiszen

10 a + b

nem osztható 109-cel.