Feladat: C.746 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Sóti Réka 
Füzet: 2004/szeptember, 333. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/január: C.746

Az ababab¯ alakú hatjegyű számok között hány
a) 217-tel;
b) 218-cal osztható szám van?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A hatjegyű számot írjuk fel tízes számrendszerben:

ababab¯=105a+104b+103a+102b+10a+b==10a(104+102+1)+b(104+102+1)=(10a+b)10101==(10a+b)371337.
Mivel 217=731, azok a számok oszthatók 217-tel, amelyek törzstényezős felbontásában a 7 és 31 szerepel. Ebből következik, hogy a hatjegyű szám akkor lesz osztható 217-tel, ha 10a+b osztható 31-gyel.
10a+b=k31<100 miatt k=1, 2 vagy 3. Ha k=1, a=3, b=1; k=2 esetén a=6, b=2 és végül k=3-ra a=9, b=3. A megfelelő hatjegyű számok: 313131, 626262 és 939393.
A feladat b) részére a válasz: nincs ilyen hatjegyű szám, mert 218 nagyobbik törzstényezője, a 109 nem szerepel a hatjegyű szám felbontásában, hiszen 10a+b nem osztható 109-cel.