Feladat: 3661. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Hagymási Imre ,  Horváth Márton 
Füzet: 2004/május, 306 - 307. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gauss-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/november: 3661. fizika feladat

Egy négyzet alakú szigetelő lemezt, melynek oldaléle d, Q töltéssel egyenletesen feltöltünk. A lemez szimmetriatengelyén, a lemeztől d/2 távolságra q töltésű pontszerű testet helyezünk el. Mekkora erő hat a ponttöltésre?
 
 

(Útmutatás: Hasonlítsuk össze a lemez kis darabkája által kifejtett erőt és a q töltés e felületdarabon átmenő fluxusát!)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Osszuk fel gondolatban a lemezt sok kicsiny, egyenként a nagyságú felületdarabkára! Mivel a lemez töltése egyenletes, a felületi töltéssűrűsége (egységnyi felületre jutó töltése) mindenütt σ=Qd2, a vizsgált lemezdarabka töltése pedig σa. A Coulomb-törvény szerint a lemezdarabka

F=14πε0qσar2
nagyságú erőt fejt ki a ponttöltésre (r a felületdarabka és a ponttöltés távolsága). A rendszer szimmetriájából adódóan a ponttöltésre ható erő a lemezre merőleges kell legyen, az F erőnek tehát csak a felületre merőleges
F'=14πε0qσar2cosα
komponense játszik szerepet az eredő erő kiszámításánál (1. ábra).
 
 

1. ábra
 

Vizsgáljuk meg ezek után a ponttöltés elektromos terének a kérdéses felületdarabkán áthaladó fluxusát! A térerősség nagysága a felületdarabka helyén
E=14πε0qr2,
a fluxus tehát
Ψ=Easinβ,
ahol β az elektromos térerősség és a felület síkja által bezárt szög (2. ábra). Mivel β=90-α, a fluxus így is felírható:
Ψ=14πε0qar2cosα.

 
 

2. ábra
 

Vegyük észre, hogy a felületdarabka által kifejtett F' erő arányos a vizsgált felületdarabkán áthaladó elektromos fluxussal: F'=σΨ, és ugyanez a kapcsolat a ponttöltésre ható eredő erő és a négyzetlapon áthaladó teljes elektromos fluxus között is: Feredő=σΨnégyzet.
Hogyan határozhatjuk meg a négyzetlapon áthaladó elektromos fluxust? Használjuk ki, hogy a ponttöltés d/2 távol van a lemeztől, vagyis éppen egy olyan kocka középpontjában, amelynek egyik lapja a négyzet alakú szigetelő lemez (3. ábra). Gauss törvénye szerint egy q töltésű pontszerű testből kiinduló teljes fluxus
Ψteljes=qε0,
és ez a fluxus ‐ a szimmetria miatt ‐ egyenletesen oszlik meg a kocka 6 lapja között:
Ψnégyzet=16Ψteljes=q6ε0,
a ponttöltésre ható erő tehát
Feredő=σq6ε0=16ε0qQd2.

 
 

3. ábra
 

 
Megjegyzés. Integrálszámítás segítségével a lemezre merőleges szimmetriatengely tetszőleges pontjában kiszámítható a ponttöltésre ható erő. Ha a q töltésű test x távolságban van a lemeztől, akkor rá
F(x)=qQπε0d2[arctg(d2x)-arctg(2xdd2+4x2+d2d2+4x2)]
erő hat.
Három határesetben is tanulságos a fenti kifejezés vizsgálata:
a) Ha xd, akkor a szögletes zárójelben álló kifejezés π/2-höz tart, ilyenkor F=qQ2ε0d2. Ez egy nagyméretű síkkondenzátor belsejében levő ponttöltésre ható erő esetének felel meg.
b) Ha xd, akkor a szögletes zárójelben álló kifejezés (2d/x)2-tel közelíthető, az erőhatás pedig két pontszerűnek tekinthető töltés közötti Coulomb-erő képletével számítható.
c) Végül tekintsük a feladatban szereplő x=d/2 esetet! A szögletes zárójelben szereplő kifejezés ekkor
arctg1-arctg(2-3)=π4-π12=π6,
az erő tehát az elemi úton is megkapható qQ6ε0d2-tel egyezik meg.