Kezdőlap


Feladat:	B.3684	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal László , Barabás Máté , Békéssy Heman András , Benedek János Ferenc , Bittner Emese , Cserép Gergely , Drozdy András , Erdélyi Viktor , Estélyi István , Farkas Gergő , Féderer Tamás , Fekete Dóra , Filus Tamás , Gidófalvy Kitti , Gombkötő Tamás , Halász Veronika , Horváth Gergely , Hülber Tímea , Jankó Zsuzsanna , Károlyi Márton , Kónya Gábor , Kovács Judit , Kovács Péter , Kunovszki Péter , László Krisztina , Lorántfy Bettina , Mátyás Péter , Milotai Zoltán , Morvai Gergely , Nagy Csaba , Nagy János , Orosz György , Papp Márton , Pásztor Attila , Pintér Gergő , Sümegi Károly , Szemes Dorottya , Szudi László , Udvari Balázs
Füzet:	2004/május, 289. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/december: B.3684

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Induljunk ki a kész ábrából és használjuk annak jelöléseit. Legyen $K$ a $B C$ oldalnak az a belső pontja, amelyre $K A B ∢ = β$ . Ekkor az $A B K$ háromszög egyenlő szárú, hiszen az $A B$ oldalon fekvő mindkét szöge $β$ . Emiatt $A K = K B$ . A $C A K$ szög nyilván $α - β$ , és mivel $α = 3 β$ , azért $C A K ∢ = α - β = 3 β - β = 2 β$ . Az $A K C$ szög az $A K B$ háromszög egyik külső szöge, így egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével: $A K C ∢ = β + β = 2 β$ . Ezért az $A K C$ háromszög is egyenlő szárú, hiszen az $A K$ oldalon fekvő mindkét szöge $2 β$ . Emiatt $C K = A C = b$ , tehát $A K = K B = C B - C K = a - b$ .

A K C

háromszög mindhárom oldalát ismerjük tehát:

A C = C K = b

A K = a - b

; így három oldalából az

A K C

háromszög megszerkeszthető, és ebből az

A B C

háromszög

B

csúcsa is, ha a

C K

szakasz

K

-n túli meghosszabbítására

K

-ból

(a - b)

-t mérünk.
A kapott háromszögben

A C = b

B C = b + (a - b) = a

, végül a fenti okoskodás megfordításával adódik, hogy

α = 3 β

.
Mivel

α = 3 β

, azért

a > b

szükséges, hiszen egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. Ekkor

a - b

pozitív, az

a - b

nagyságú szakasz megszerkeszthető. A háromszög-egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \begin{matrix} A C + C K > A K, azaz b + b > a - b, átrendezve: 3 b > a, \\ \begin{matrix} A C + A K > C K \\ C K + A K > A C \end{matrix}} b + (a - b) > b, azaz a > b . \end{matrix} \end{matrix}

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor lényegében egyértelműen adódik az

A K C

háromszög. A második lépés, a

B

csúcs szerkesztése ezután ugyancsak egyértelműen elvégezhető.
Ha

b < a < 3 b

, akkor pontosan egy megoldása van a feladatnak, ha pedig ez nem teljesül, akkor nem szerkeszthető ilyen

A B C

háromszög.