Feladat: B.3684 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antal László ,  Barabás Máté ,  Békéssy Heman András ,  Benedek János Ferenc ,  Bittner Emese ,  Cserép Gergely ,  Drozdy András ,  Erdélyi Viktor ,  Estélyi István ,  Farkas Gergő ,  Féderer Tamás ,  Fekete Dóra ,  Filus Tamás ,  Gidófalvy Kitti ,  Gombkötő Tamás ,  Halász Veronika ,  Horváth Gergely ,  Hülber Tímea ,  Jankó Zsuzsanna ,  Károlyi Márton ,  Kónya Gábor ,  Kovács Judit ,  Kovács Péter ,  Kunovszki Péter ,  László Krisztina ,  Lorántfy Bettina ,  Mátyás Péter ,  Milotai Zoltán ,  Morvai Gergely ,  Nagy Csaba ,  Nagy János ,  Orosz György ,  Papp Márton ,  Pásztor Attila ,  Pintér Gergő ,  Sümegi Károly ,  Szemes Dorottya ,  Szudi László ,  Udvari Balázs 
Füzet: 2004/május, 289. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/december: B.3684

Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala, a és b, továbbá tudjuk, hogy (a szokásos jelölésekkel) α=3β.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Induljunk ki a kész ábrából és használjuk annak jelöléseit. Legyen K a BC oldalnak az a belső pontja, amelyre KAB=β. Ekkor az ABK háromszög egyenlő szárú, hiszen az AB oldalon fekvő mindkét szöge β. Emiatt AK=KB. A CAK szög nyilván α-β, és mivel α=3β, azért CAK=α-β=3β-β=2β. Az AKC szög az AKB háromszög egyik külső szöge, így egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével: AKC=β+β=2β. Ezért az AKC háromszög is egyenlő szárú, hiszen az AK oldalon fekvő mindkét szöge 2β. Emiatt CK=AC=b, tehát AK=KB=CB-CK=a-b.

 
 

Az AKC háromszög mindhárom oldalát ismerjük tehát: AC=CK=b, AK=a-b; így három oldalából az AKC háromszög megszerkeszthető, és ebből az ABC háromszög B csúcsa is, ha a CK szakasz K-n túli meghosszabbítására K-ból (a-b)-t mérünk.
A kapott háromszögben AC=b, BC=b+(a-b)=a, végül a fenti okoskodás megfordításával adódik, hogy α=3β.
Mivel α=3β, azért a>b szükséges, hiszen egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. Ekkor a-b pozitív, az a-b nagyságú szakasz megszerkeszthető. A háromszög-egyenlőtlenség szerint
AC+CK>AK,azazb+b>a-b,átrendezve:3b>a,AC+AK>CKCK+AK>AC}b+(a-b)>b,azaza>b.
Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor lényegében egyértelműen adódik az AKC háromszög. A második lépés, a B csúcs szerkesztése ezután ugyancsak egyértelműen elvégezhető.
Ha b<a<3b, akkor pontosan egy megoldása van a feladatnak, ha pedig ez nem teljesül, akkor nem szerkeszthető ilyen ABC háromszög.