Feladat: B.3667 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Féderer Tamás 
Füzet: 2004/május, 285 - 286. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Mértani helyek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):1951/december: Egyenlőtlenségek (4)
Feladatok: 2003/október: B.3667, 1951/november: 348. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a háromszög A csúcsa a (-1;0), B csúcsa az (1;0) pontba, C csúcsa pedig az y tengely pozitív felére kerüljön. Az a oldalú szabályos háromszög magassága a32, ezért C koordinátái (0;3).
Egy tetszőleges P(x;y) pontnak az A, B, C pontoktól való távolságainak négyzete ekkor az ismert képlet szerint:

PA2=(x+1)2+y2,PB2=(x-1)2+y2,ésPC2=x2+(y-3)2.

Az a) esetben tehát P akkor és csak akkor tartozik a mértani helyhez, ha
((x+1)2+y2)+((x-1)2+y2)=x2+(y-3)2.
Elvégezve a négyzetreemeléseket majd rendezve:
2x2+2y2+2=x2+y2-23y+3,x2+(y+3)2=4.(1)


Ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a keresett mértani hely az (1) egyenletű alakzat, egy olyan kör, melynek középpontja az ABC háromszög C csúcsának az AB oldalra vonatkozó tükörképe, sugara pedig megegyezik a háromszög oldalának hosszával (1. ábra).
 
 

1. ábra
 

A b) esetben P akkor és csak akkor tartozik a mértani helyhez, ha
((x+1)2+y2)+((x-1)2+y2)==2(x2+(y-3)2),


azaz ha
2x2+2y2+2=2x2+2y2-43y+6,
vagyis ha
y=33.(2)
Ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a keresett mértani hely most a (2) egyenletű alakzat, egy olyan egyenes, amely párhuzamos az ABC háromszög AB oldalával és átmegy a háromszög súlypontján (2. ábra).
 
 

2. ábra