Legyen az tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a legalább elsőfokú és a polinomok mindketten fölcserélhetők a kompozícióra nézve az polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők. Lásd a B. 3621. feladatot a KöMaL 2003. februári számának 105. oldalán.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Ha és is felcserélhető -fel, akkor is felcserélhető -fel, ugyanis | | teljesül minden -re, amiből következik, hogy a polinom azonos az polinommal. Ugyanez igaz természetesen a polinomra is. Vegyük észre, hogy ha a polinom foka , a -é pedig , akkor mind a , mind a polinom foka . Elegendő tehát belátni a következő állítást: tetszőleges pozitív egészhez legfeljebb egy olyan -ad fokú polinom van, amely -fel felcserélhető. Állításunk igazolásához keressük az polinomot | | alakban, ahol . Legyen , ahol . Az polinom pontosan akkor felcserélhető -fel, ha | | Mindkét oldalon egy -ad fokú polinom áll. A két polinomban együtthatóját összehasonlítva az összefüggésre jutunk, ahonnan . Ha valamilyen esetén az együtthatókat már meghatároztuk, akkor is egyértelműen meghatározható, ha a két polinomban összehasonlítjuk együtthatóját. Valóban, a második polinomban ez az együttható, kifejezhető az számok és a már meghatározott () együtthatók segítségével, azok valamilyen többváltozós polinomjaként, míg az első polinomban a megfelelő együttható az és () együtthatók polinomjaként írható fel, ahol -ben is csak már eddig meghatározott együtthatók szerepelnek. Így a | | összefüggés alapján valóban meghatározható. Ilyen módon az polinom valamennyi együtthatóját meghatározhatjuk, melyeknek még további összefüggést is ki kell elégíteniük. Ezért az polinom vagy egyértelműen meghatározható, vagy pedig nem létezik, és éppen ezt akartuk igazolni.
|
|