Feladat: B.3631 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bartha Ferenc ,  Czank Tamás ,  Gyarmati Ákos ,  Korotij Ágnes ,  Simon Balázs 
Füzet: 2004/február, 92 - 93. oldal  PDF file
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):1951/december: Egyenlőtlenségek (4)
Feladatok: 2003/március: B.3631, 1951/november: 347. matematika feladat

Legyen az f(x) tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a legalább elsőfokú p(x) és a q(x) polinomok mindketten fölcserélhetők a kompozícióra nézve az f(x) polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.1
1 Lásd a B. 3621. feladatot a KöMaL 2003. februári számának 105. oldalán.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha p és q is felcserélhető f-fel, akkor pq is felcserélhető f-fel, ugyanis

((pq)f)(x)=p(q(f(x)))=p(f(q(x)))=f(p(q(x)))=(f(pq))(x)
teljesül minden x-re, amiből következik, hogy a (pq)f polinom azonos az f(pq) polinommal. Ugyanez igaz természetesen a qp polinomra is. Vegyük észre, hogy ha a p(x) polinom foka n, a q(x)-é pedig m, akkor mind a pq, mind a qp polinom foka nm. Elegendő tehát belátni a következő állítást: tetszőleges k pozitív egészhez legfeljebb egy olyan r(x) k-ad fokú polinom van, amely f-fel felcserélhető.
Állításunk igazolásához keressük az r polinomot
r(x)=rkxk+rk-1xk-1+...+r1x+r0
alakban, ahol rk0. Legyen f(x)=ax2+bx+c, ahol a0. Az r polinom pontosan akkor felcserélhető f-fel, ha
a(rkxk+rk-1xk-1+...+r0)2+b(rkxk+rk-1xk-1+...+r0)+c==rk(ax2+bx+c)k+rk-1(ax2+bx+c)k-1+...+r0.
Mindkét oldalon egy 2k-ad fokú polinom áll. A két polinomban x2k együtthatóját összehasonlítva az ark2=rkak összefüggésre jutunk, ahonnan rk=ak-1. Ha valamilyen 0i<k esetén az rk,rk-1,...,rk-i együtthatókat már meghatároztuk, akkor rk-i-1 is egyértelműen meghatározható, ha a két polinomban összehasonlítjuk x2k-i-1 együtthatóját. Valóban, a második polinomban ez az együttható, t2k-i-1 kifejezhető az a,b,c számok és a már meghatározott rk-j (ji) együtthatók segítségével, azok valamilyen többváltozós polinomjaként, míg az első polinomban a megfelelő együttható az a,b,c és rk-j (ji+1) együtthatók s2k-i-1+2arkrk-i-1 polinomjaként írható fel, ahol s2k-i-1-ben is csak már eddig meghatározott együtthatók szerepelnek. Így a
t2k-i-1=s2k-i-1+arkrk-i-1
összefüggés alapján rk-i-1 valóban meghatározható. Ilyen módon az r(x) polinom valamennyi együtthatóját meghatározhatjuk, melyeknek még k további összefüggést is ki kell elégíteniük. Ezért az r(x) polinom vagy egyértelműen meghatározható, vagy pedig nem létezik, és éppen ezt akartuk igazolni.