A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A négyszög csúcsait jelölje , , és , az oldalfelező pontokat pedig , , és az 1. ábra szerint. A két középvonal metszéspontját az oldalfelező pontokkal összekötő szakaszok súlyvonalak abban a négy háromszögben, amelyekre az -et a csúcsokkal összekötő szakaszok osztják a négyszöget. Ezek a szakaszok tehát rendre felezik az egyes háromszögek területét. Ebből következik, hogy | | (1) | ahol az négyszög területe. ( annak a négyszögnek a területét jelöli, amelynek csúcsai , , és , a további tagok jelentése hasonló.) Ez következik abból, hogy mind a négy pár egyenlő területű háromszög egyike a fenti összeg bal, a másika pedig a jobb oldalán szerepel.
![](upload/abr66/ab66702.png) 1. ábra Válasszuk az egyszerűség kedvéért a területmérés egységének a 180 m-t. Ekkor az ismert területű négyszögek rendre 2, 4 és 5 egység területűek. Az (1) egyenlőség szerint három eset lehetséges attól függően, hogy az ismeretlen területű negyedik rész melyik ismert területű kis négyszöggel van ,,átlósan'' szemközt a három közül. Ezek az esetek láthatók a 2/a., b., c. ábrákon. Megmutatjuk, hogy közülük kettő nem jöhet létre.
Ismeretes, hogy egy négyszög oldalfelező pontjai paralelogrammát határoznak meg, melynek területe fele a négyszögének. Az ABCD négyszög középvonalai átlók ebben az EFGH paralelogrammában, azt tehát négy egyenlő, t8 területű háromszögre osztják. E háromszögek közül mind a négy örökrész tartalmaz egyet, azért mindegyikük területe nagyobb, mint t8 (3. ábra). Ez pedig egyedül a második, 2/b. ábra elrendezésében teljesül, a negyedik fivér örökségének a területe csak 3 egységnyi, azaz 540 m2 lehet.
![](upload/abr66/ab66704.png) 3. ábra Meg kell még mutatnunk, hogy ez az eredmény lehetséges, nincsen olyan további feltétel, ami kizárná. Ehhez megadunk egy konvex négyszöget, amelyben az egyes résznégyszögek területe rendre 2, 4, 5 és 3 egység. Induljunk ki egy olyan ABCD négyszögből, amelynek az átlói 5:9, illetve 1:13 arányban osztják egymást a 4. ábra szerint. Ilyen konvex négyszög nyilván szerkeszthető. Ekkor [ABD][CDB]=113, ugyanis a két háromszög közös BD alapjához tartozó magasságok aránya ugyancsak 1:13. Hasonlóan kapjuk, hogy [ACD][CAB]=59. Ha tehát az ABCD négyszög területe 14 egység, akkor az átlói az 5. ábrán látható módon osztják 1 és 13, illetve 5 és 9 egységnyi területű háromszögekre. A négyszög oldalfelező pontjait összekötő szakaszok ezekben a háromszögekben középvonalak, ezért az ABCD négyszög csúcsainál keletkező háromszögek területe ezeknek az értékeknek a negyede. Végül a t2=7 egységnyi területű EFGH paralelogrammát az átlói 74 területű háromszögekre osztják (6. ábra). Az egyes részek területe így valóban
=[EAF]+[EFM]=14+74=2,[MFBG]=[FBG]+[FGM]=94+74=4,[MGCH]=[GCH]+[GHM]=134+74=5,végül[MHDE]=[HDE]+[HEM]=54+74=3.
A negyedik testvérnek tehát 540 m2 rész jutott.
![](upload/abr66/ab66705.png) 4. ábra
![](upload/abr66/ab66706.png) 5. ábra
![](upload/abr66/ab66707.png) 6. ábra |